Квадратриса

Рис. 1. Кинематическое определение квадратрисы

Рис. 2. То же с анимацией

Квадратриса — плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Была предложена в античные времена для решения задач квадратуры круга и трисекции угла.

Кинематическое определение

Рассмотрим квадрат $ABCD$ (рис. 1), в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка $E$ равномерно движется по дуге от точки $D$ до точки $B$; одновременно отрезок $A'B'$ равномерно движется из положения $DC$ в положение $AB$. Наконец, потребуем, чтобы оба движения начались и закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса $AE$ и отрезка $A'B'$ опишет квадратрису (рис. 2, выделена красным цветом).

История

Первое упоминание о квадратрисе сделали Папп Александрийский^[1] и Ямвлих в конце III века. Папп дал и подробное описание способов её построения. Кривая открыта, по сообщению Прокла Диадоха (V век), софистом Гиппием (V век до н. э.) и использовалась им для решения задачи трисекции угла. Другой античный геометр, Динострат, дал исследование этой кривой и показал, что она обеспечивает также решение задачи квадратуры круга. В источниках данную кривую называют «квадратрисой Динострата» или «квадратрисой Гиппия».

В Новое время кривую исследовали Роберваль (1636), Ферма, Барроу (1670) и другие известные математики. Декарт посвятил исследованию квадратрисы немало страниц в своей «Геометрии» (1637). Ньютон в 1676 году определил длину дуги квадратрисы, её кривизну и площадь её сегмента в виде ряда.

Уравнения кривой

• В полярных координатах:

$\rho=\frac{2R}{\pi}\frac{\varphi}{\sin \varphi}.$

Вывод

Пусть $R$ — радиус круга, $\varphi$ — текущий угол $FAG$, $\rho=AF$ — полярный радиус. Для удобства введём время $t$, которое за период движения меняется от 0 до 1. Тогда равномерное движение точки $E$ по дуге длиной $\textstyle\frac{\pi}{2}$ можно выразить уравнением: $\varphi = \frac{\pi}{2}\cdot (1-t).$ Равномерное движение отрезка $A'B'$ выражается уравнением: $A'A = \rho \sin \varphi = (1-t) R$ Подставляя значение $1-t$ из первого уравнения во второе, получаем окончательно: $\rho=\frac{2R\varphi}{\pi\sin \varphi}.$

• В прямоугольных координатах:

$x=y\,\operatorname{ctg}\frac{\pi y}{2R}$

Вывод

Приводим уравнение в полярных координатах к виду: $\rho\sin\varphi=\frac{2R}{\pi}\varphi$ Учитывая $\rho\sin\varphi=y$, получаем $y=\frac{2R}{\pi}\varphi$ Из геометрических соображений: $\textstyle\varphi=\operatorname{arctg}\frac{y}{x}$. Тогда уравнение предстанет в виде: $\frac{\pi y}{2R}=\operatorname{arctg}\frac{y}{x}$ Берём тангенс от обеих частей: $\operatorname{tg}\frac{\pi y}{2R}=\frac{y}{x}$ то есть $x=y\,\operatorname{ctg}\frac{\pi y}{2R}$

Основное свойство

Уравнение квадратрисы в полярных координатах можно записать в виде:

$\rho \sin \varphi = \frac{2R}{\pi} \varphi,$ или: $y = k \varphi,$

где $k =\frac{2R}{\pi}.$ Отсюда следует основное свойство данной кривой:

Ординаты любых двух точек квадратрисы относятся, как полярные углы этих точек: $\frac{y_1}{y_2} = \frac{\varphi_1}{\varphi_2}.$

Квадратриса — единственная (невырожденная) кривая в первом координатном квадранте, обладающая таким свойством (это легко доказать, повторив приведенные рассуждения в обратном порядке).

Применение

Трисекция угла

Трисекция угла, то есть деление произвольного угла на три равные части, с помощью квадратрисы проводится элементарно. Пусть $EAB$ (рис. 1) — некоторый угол, треть которого надо построить. Алгоритм деления следующий:

1. Находим точку $F$ на квадратрисе и её ординату $A'$.
2. Откладываем на отрезке $AA'$ его третью часть; получим некоторую точку $H$.
3. Находим на квадратрисе точку $K$ с ординатой $H$.
4. Проводим луч $AK$. Угол $KAB$ — искомый.

Доказательство данного алгоритма сразу следует из основного свойства квадратрисы. Очевидно также, что аналогичным способом можно разделить угол не только на три, но и на любое другое число частей.

Квадратура круга

Рис. 3. Схема квадратуры круга с помощью квадратрисы

Задача квадратуры круга ставится так: построить квадрат с такой же площадью, как у заданного круга радиуса $R$. Алгебраически это означает решение уравнения: $x^2=\pi R^2$.

Построим для исходного круга квадратрису, как на рис. 1. Используя первый замечательный предел, получаем, что абсцисса $AG$ её нижней точки равна $\frac {2R} {\pi}$. Выразим это в виде пропорции: $C:2R=2R:AG$, где $C = 2 \pi R$ — длина окружности. Приведенное соотношение позволяет построить отрезок длины $C$. Прямоугольник со сторонами $R$ и $C/2$ будет иметь нужную площадь, а построить равновеликий ему квадрат — дело несложное, см. статью Квадратура (математика) или рис. 3.

Вариации

Помимо рассмотренной выше квадратрисы Динострата, существует ряд иных кривых, которые можно использовать для квадратуры круга, и поэтому также называемых квадратрисами.

• Квадратриса Чирнгауза (или Чирнгаузена):

$y=a \sin \frac{\pi x}{2a}$

• Квадратриса Озанама:

$x=2 a \sin^2 \frac{y}{2a}$

Рис. 4. График «полной» квадратрисы при R=1

Кроме того, ряд авторов предпочитают поменять местами x и y в уравнении квадратрисы Динострата:

$y=x\,\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{2R}$

Этот вариант имеет то преимущество, что функция $y(x)$ определена на всей вещественной оси, кроме точек $\pm 2 R, \pm 4 R, \pm 6 R \dots$, см. её график при $R=1$ на рис. 4. В полярных координатах центральная ветка данного варианта кривой описывается формулой:

$\rho=\frac{R}{\pi} \cdot \frac{\pi-2 \varphi}{\cos \varphi}.$

См. также

• Динострат
• Квадратура круга
• Трисекция угла

Примечания

1. ↑ Папп Александрийский. Математическое собрание, книга IV.

Литература

• Жуков А. В.. «О числе π». М.: МЦНМО, 2002 г., 32 с ISBN 5-94057-030-5
• Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
• Прошлецова И. Л. О квадратрисе Динострата // Историко-математические исследования. СПб.: Изд-во Международного фонда истории науки. Вып. 35 (1994). С. 220—229.
• Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
• Чистяков В. Д. Три знаменитые задачи древности. М.: Гос. уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1963.
• Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? Математическое образование, № 4 (48), 2008, с. 3-15.

Ссылки

• Quadratrix of Hippias at the MacTutor archive.  (англ.)
• Quadratrix of Hippias at Convergence.  (англ.)