Губка Менгера

5 итераций

На 6-й итерации

Губка Менгера после четырёх итераций

Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.

Построение

Куб $K_0$ с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба $K_0$ удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество $K_1$, состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество $K_2$, состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

$K_0\supset K_1\supset\dots\supset K_n\supset\dots$

пересечение членов которой есть губка Менгера.

Свойства

• Каждая грань исходного куба выглядит как ковёр Серпинского.
• Губка Менгера имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность, которая равна $\ln20/\ln3\approx 2,73$ поскольку она состоит из 20 равных частей, каждая из которых подобна всей губке с коэффициентом подобия 1/3.
• Губка Менгера имеет топологическую размерность 1, более того
  • Губка Менгера топологически характеризуется как одномерный связный локально связный метризуемый компакт, не имеющий локально разбивающих точек (то есть для любой связной окрестности $U$ любой точки $x\in M$ множество $U\backslash x$ связно) и не имеющий непустых открытых и вложимых в плоскость подмножеств.
• Губка Менгера является универсальной кривой Урысона, то есть она обладает тем свойством, что какова бы ни была кривая Урысона $C$, в губке Менгера найдется подмножество $C'$, гомеоморфное $C$.

См. также

• Кривая Урысона