Строфоида

Строфоида (от греч. στροφή — поворот) — алгебраическая кривая 3-го порядка. Строится так (см. Рис. 1):

Рис. 1

Рис. 2

В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OD, задана фиксированная точка A на оси OX. Через т. А проводится произвольная прямая AL, которая пересекает ось ординат в точке P. От точки P, на расстоянии равном OP, в обе стороны вдоль прямой AL находятся точки M1 и M2. Геометрическое место точек M1 и M2 образуют строфоиду.

В прямоугольной системе координат строится прямая строфоида или просто строфоида, которая изображена на Рис.1. В косоугольной системе координат строится косая строфоида — Рис.2.

Уравнения

Уравнение строфоиды в декартовой системе координат, где O — начало координат, ось абсцисс направлена по лучу OB, ось ординат по лучу OD, угол $\alpha = \angle AOD$(для прямоугольной системы координат $\alpha = \frac {\pi }{2}$), записывается так:

$y^2 \left( x - a \right) - 2x^2y \cos \alpha + x^2 \left( a + x \right) = 0 \,\!$.

Уравнение прямой строфоиды:

$y = \pm x \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}} \,\!$.

Уравнение строфоиды в полярной системе координат:

$\rho = - \frac{a \cos2 \phi}{ \cos \phi} \,\!$.

Параметрическое уравнение строфоиды:

$x = a \left( \frac{u^2 - 1}{u^2 + 1} \right) \,\!$

$y = au \left( \frac{u^2 - 1}{u^2 + 1} \right) \,\!$, где

$u = \tan \phi \,\!$.

Точка B отстоит от центра координат O на расстоянии равном a=OA. Прямая UV, проведенная через точку B параллельно оси ординат служит асимптотой для обеих ветвей прямой строфоиды. Для косой строфоиды, прямая UV служит асимптотой для нижней ветви и касательной в точке S, причём SB = SA.

В точке O существуют две касательные, которые взаимно перпендикулярны, как для прямой, так и для косой строфоиды.

История

Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком Жилем Робервалем в 1645 году. Роберваль называл эту кривую — «птероида» (от греч. πτερον— крыло). Название «строфоида» было введено в 1849 году.

Дальнейшее относится только к прямой строфоиде.

Нахождение касательной

$y' = \sqrt { \frac {a + x}{a - x}} \left( 1 + \frac {ax}{a^2 - x^2} \right) \,\!$

В точке $O(0,0)$ производная $y' = \pm 1$, то есть в точке $O(0,0)$ существуют две перпендикулярные касательные, угол наклона которых равен $\pm \frac{\pi}{4}$.

Вывод  

Тангенс угла наклона касательной равен значению первой производной функции. Перепишем уравнение строфоиды (прямой) в следующем виде:

$y = xz \,\!$, где $z = \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}} \,\!$.

$y' = z + xz' \,\!$

$z = \sqrt {\frac {a + x}{a - x}}$

$\ln {z} = \frac {1}{2} \ln {a + x} - \frac {1}{2} \ln {a - x}$

Дифференцируем данное уравнение:

$\frac{z'}{z} = \frac{1}{2} \frac{1}{a +x} + \frac {1}{2} \frac{1}{a - x} = \frac{a}{a^2 - x^2} \,\!$

$\frac{z'}{z} = \frac{1}{2} \frac{1}{a + x} + \frac{1}{2} \frac{1}{a - x} = \frac {a}{a^2 - x^2} \,\!$

$z' = \frac{a}{a^2 - x^2} \sqrt { \frac{a + x}{a - x}} \,\!$

отсюда

$y' = \sqrt { \frac {a + x}{a - x}} \left( 1 + \frac {ax}{a^2 - x^2} \right) \,\!$

Радиус кривизны

$R = ON$ в точке $O(0,0)$ определяется так:

$R = \frac{a}{\cos \angle AON} = \frac{a}{\cos \frac{ \pi}{4}} = a \sqrt{2} \,\!$.

Площадь петли строфоиды и площадь между строфоидой и асимптотой

Площадь петли строфоиды слева от оси ординат

$S_1 = a^2 (2 - \frac {\pi}{2})$.

Площадь между строфоидой и асимптотой справа от оси ординат

$S_1 = a^2 (2 + \frac {\pi}{2})$.

Вывод  

Уравнение верхней дуги $AM_1O$:

$y = - x \sqrt { \frac {a+x} {a-x}} \qquad \,\!$   (1)

Половина площади левой петли строфоиды равна интегралу от уравнения (1) в пределах от $-a$ до $0$.

$\frac {1}{2} S_1 = - \int\limits_{-a}^ {0} x \sqrt { \frac {a+x} {a-x}}\,dx \qquad \,\!$   (2)

Подстановка:

$u = a - x,\qquad a + x = 2a - u, \qquad dx = -du$.

Пределы интегрирования:

$x = -a \Rightarrow\; u = 2a, \qquad x = 0 \Rightarrow\; u = a$

Интеграл (2) преобразуется к виду:

$\frac {1}{2} S_1 = \int\limits_{2a}^ {a} \left( a - u \right) \sqrt{ \frac {2a - u}{u}}\,du= \,\!$

$= - \int\limits_{2a}^ {a} u \sqrt{ \frac{2a - u}{u}}\,du + a \int\limits_{2a}^ {a} \sqrt { \frac{2a - u}{u}}\,du \qquad \,\!$   (3)

Первый интеграл из уравнения (3):

$- \int\limits_{2a}^ {a} u \sqrt{ \frac{2a - u}{u}}\,du = - \int\limits_{2a}^{a} \sqrt{2au - u^2}\,du \qquad \,\!$   (4)

Подстановка:

$v = u - a, \qquad u = v + a, \qquad dv = du$.

Пределы интегрирования:

$u = 2a \Rightarrow\; v = a, \qquad u = a \Rightarrow\; v = 0$.

Интеграл (4) преобразуется к виду:

$- \int\limits_{a}^ {0} \sqrt{2a \left(v + a \right) - \left(v + a \right)^2}\,dv = - \int\limits_{a}^ {0} \sqrt { a^2 - v^2}\,dv = \,\!$

$= - \left[ \frac{v}{2} \sqrt{a^2 - v^2}+ \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{v}{a} \right] \begin{cases} 0 \\ a \end{cases} = \,\!$

$= \frac{a^2}{2} \arcsin 1 = \frac{a^2 \pi}{4} \,\!$.

Второй интеграл из уравнения (3):

$a \int\limits_{2a}^ {a} \sqrt { \frac{2a - u}{u}}\,du \qquad \,\!$   (5)

Подстановка:

$u = v^2, \qquad du = 2vdv$.

Пределы интегрирования:

$u = 2a \Rightarrow\; v = \sqrt {2a}, \qquad u = a \Rightarrow\; v = \sqrt {a}$.

Интеграл (5) преобразуется к виду:

$2a \int\limits_{ \sqrt{2a}}^{ \sqrt {a}} \sqrt{2a - v^2 }\,dv = \,\!$

$= 2a \left[ \frac{v}{2} \sqrt{2a - v^2} + a \arcsin \frac{v}{ \sqrt{2a}} \right] \begin{cases} \sqrt{a} \\ \sqrt{2a} \end{cases} = \,\!$

$= -\frac {a^2 \pi}{2} + a^2 \,\!$.

Итак:

$\frac {1}{2}S_1 = \frac {a^2 \pi}{4} - \frac {a^2 \pi}{2} + a^2 \,\!$

Площадь $S_1$ равна:

$S_1 = 2a^2 - \frac {a^2 \pi}{2}$.

Если координата $x$ стремится к $a$, то правые ветви строфоиды стремятся к $\pm \infty$, но площадь между линией $U'OV'$и асимптотой $UV$ конечна и определяется интегралом (2) в пределах от $0$ до $a$. В этом случае площадь получится отрицательной, так как уравнение (1) описывает ветвь OU', а площадь, заключенная между этой ветвью и лучом OX и лучом BU — отрицательна. Если вычислить интеграл (2) в пределах от $0$ до $a$, получим следующее выражение для площади $S_2$:

$S_2 = 2a^2 + \frac {a^2 \pi}{2}$.

Объём тела вращения

Объём ($V_1$) тела, образованного при вращении дуги $OM_1A$ вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

$V_1 = \pi \int\limits_{-a}^{0} \left( x \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}} \right)^2 \,dx = \qquad \,\!$   (6)

$= \pi \int\limits_{-a}^{0} x^2 \frac{a + x}{a - x} \,dx = \,\!$

$= - \pi \int\limits_{-a}^{0} x^2 \,dx - 2 \pi a \int\limits_{-a}^{0} x \,dx - 2 \pi a^2 \int\limits_{-a}^{0} dx + 2 \pi a^3 \int\limits_{-a}^{0} \frac{dx}{a - x} = \,\!$

$= - \frac{a^3 \pi}{3} + a^3 \pi - 2a^3 \pi + 2a^3 \pi \ln {2} \,\!$

Итак:

$V_1 = a^3 \pi \left( 2 \ln{2} - \frac{4}{3} \right) \,\!$.

Объём ($V_2$) тела, образованного при вращении ветви $OV'$ вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из интеграла (6) в пределах от $0$ до $b$, где $0 =< b < a$ :

$V_2 = \pi \int\limits_{0}^{b} \left( x \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}} \right)^2 \,dx = \qquad \,\!$

$= - \pi \int\limits_{0}^{b} x^2 \,dx - 2 \pi a \int\limits_{0}^{b} x \,dx - 2 \pi a^2 \int\limits_{0}^{b} dx + 2 \pi a^3 \int\limits_{0}^{b} \frac{dx}{a - x} = \,\!$

$= - \frac {\pi b^3}{3} - a \pi b^2 - 2a^2 \pi b + 2a^3 \pi \left( \ln {a} - \ln {\left(a - b \right)} \right) \,\!$.

Если $b \Rightarrow\; a$, то $\ln {\left(a - b \right)} \Rightarrow\; - \infty$, то есть $V_2 \Rightarrow\; \infty$.