Кубический сплайн

Некоторая функция f(x) задана на отрезке $[a,b]$, разбитом на части $[x_{i-1},x_i]$, $a=x_0< x_1< ... <x_N=b$. Кубическим сплайном дефекта 1 называется функция $S(x)$, которая:

• на каждом отрезке $[x_{i-1},x_i]$ является многочленом степени не выше третьей;
• имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке $[a,b]$;
• в точках $x_i$ выполняется равенство $S(x_i) = f(x_i)$, т. е. сплайн $S(x)$ интерполирует функцию f в точках $x_i$.

Для однозначного задания сплайна перечисленных условий недостаточно, для построения сплайна необходимо наложить какие-то дополнительные требования.

Естественным кубическим сплайном называется кубический сплайн, удовлетворяющий также граничным условиям вида:

$S''(a) = S''(b) = 0.$

Теорема: Для любой функции $f$ и любого разбиения отрезка $[a,b]$ cуществует ровно один естественный сплайн S(x), удовлетворяющий перечисленным выше условиям.

Эта теорема является следствием более общей теоремы Шёнберга-Уитни об условиях существования интерполяционного сплайна.

Построение

Обозначим: $h_i = x_i - x_{i-1}$

На каждом отрезке $[x_{i - 1},x_{i}]$ функция $S(x)$ есть полином третьей степени $S_i(x)$, коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства $S_i(x)$ в виде:

$S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + {c_i\over2}(x-x_i)^2 + {d_i\over6}(x - x_i)^3 \,\!$

тогда

$S_i\left(x_i\right) = a_i, \quad S'_i(x_i) = b_i, \quad S''_i(x_i) = c_i \,\!$

Условия непрерывности всех производных до второго порядка включительно записываются в виде
$S_i\left(x_{i-1}\right) = S_{i-1}(x_{i-1})$
$S'_i\left(x_{i-1}\right) = S'_{i-1}(x_{i-1})$
$S''_i\left(x_{i-1}\right) = S''_{i-1}(x_{i-1})$
а условия интерполяции в виде

$S_i\left(x_{i-1}\right) = f(x_{i-1})$

Отсюда получаем формулы для вычисления коэффициентов сплайна:

$a_i = f\left(x_i\right) \,\!$

$h_ic_{i-1} + 2(h_i + h_{i+1})c_i + h_{i+1}c_{i+1} = 6\left({{f_{i+1} - f_i}\over{h_{i+1}}} - {{f_{i} - f_{i-1}}\over{h_{i}}}\right) \,\!$

$d_i = {{c_i - c_{i-1}}\over{h_i}} \,\!$

$b_i = {1\over2}h_ic_i - {1\over6}h_i^2d_i + {{f_i - f_{i-1}}\over{h_i}} \,\!$

Если учесть, что $c_0 = c_n = 0$, то вычисление $c$ можно провести с помощью метода прогонки для трёхдиагональной матрицы.

Реализация на языке C++

#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <limits>
 
class cubic_spline
{
private:
        // Структура, описывающая сплайн на каждом сегменте сетки
        struct spline_tuple
        {
                double a, b, c, d, x;
        };
 
        spline_tuple *splines; // Сплайн
        std::size_t n; // Количество узлов сетки
 
        void free_mem(); // Освобождение памяти
 
public:
        cubic_spline(); //конструктор
        ~cubic_spline(); //деструктор
 
        // Построение сплайна
        // x - узлы сетки, должны быть упорядочены по возрастанию, кратные узлы запрещены
        // y - значения функции в узлах сетки
        // n - количество узлов сетки
        void build_spline(const double *x, const double *y, std::size_t n);
 
        // Вычисление значения интерполированной функции в произвольной точке
        double f(double x) const;
};
 
cubic_spline::cubic_spline() : splines(NULL)
{
 
}
 
cubic_spline::~cubic_spline()
{
        free_mem();
}
 
void cubic_spline::build_spline(const double *x, const double *y, std::size_t n)
{
        free_mem();
 
        this->n = n;
 
        // Инициализация массива сплайнов
        splines = new spline_tuple[n];
        for (std::size_t i = 0; i < n; ++i)
        {
                splines[i].x = x[i];
                splines[i].a = y[i];
        }
        splines[0].c = 0.;
 
        // Решение СЛАУ относительно коэффициентов сплайнов c[i] методом прогонки для трехдиагональных матриц
        // Вычисление прогоночных коэффициентов - прямой ход метода прогонки
        double *alpha = new double[n - 1];
        double *beta = new double[n - 1];
        double A, B, C, F, h_i, h_i1, z;
        alpha[0] = beta[0] = 0.;
        for (std::size_t i = 1; i < n - 1; ++i)
        {
                h_i = x[i] - x[i - 1], h_i1 = x[i + 1] - x[i];
                A = h_i;
                C = 2. * (h_i + h_i1);
                B = h_i1;
                F = 6. * ((y[i + 1] - y[i]) / h_i1 - (y[i] - y[i - 1]) / h_i);
                z = (A * alpha[i - 1] + C);
                alpha[i] = -B / z;
                beta[i] = (F - A * beta[i - 1]) / z;
        }
 
        splines[n - 1].c = (F - A * beta[n - 2]) / (C + A * alpha[n - 2]);
 
        // Нахождение решения - обратный ход метода прогонки
        for (std::size_t i = n - 2; i > 0; --i)
                splines[i].c = alpha[i] * splines[i + 1].c + beta[i];
 
        // Освобождение памяти, занимаемой прогоночными коэффициентами
        delete[] beta;
        delete[] alpha;
 
        // По известным коэффициентам c[i] находим значения b[i] и d[i]
        for (std::size_t i = n - 1; i > 0; --i)
        {
                double h_i = x[i] - x[i - 1];
                splines[i].d = (splines[i].c - splines[i - 1].c) / h_i;
                splines[i].b = h_i * (2. * splines[i].c + splines[i - 1].c) / 6. + (y[i] - y[i - 1]) / h_i;
        }
}
 
double cubic_spline::f(double x) const
{
        if (!splines)
                return std::numeric_limits<double>::quiet_NaN(); // Если сплайны ещё не построены - возвращаем NaN
 
        spline_tuple *s;
        if (x <= splines[0].x) // Если x меньше точки сетки x[0] - пользуемся первым эл-тов массива
                s = splines + 1;
        else if (x >= splines[n - 1].x) // Если x больше точки сетки x[n - 1] - пользуемся последним эл-том массива
                s = splines + n - 1;
        else // Иначе x лежит между граничными точками сетки - производим бинарный поиск нужного эл-та массива
        {
                std::size_t i = 0, j = n - 1;
                while (i + 1 < j)
                {
                        std::size_t k = i + (j - i) / 2;
                        if (x <= splines[k].x)
                                j = k;
                        else
                                i = k;
                }
                s = splines + j;
        }
 
        double dx = (x - s->x);
        return s->a + (s->b + (s->c / 2. + s->d * dx / 6.) * dx) * dx; // Вычисляем значение сплайна в заданной точке по схеме Горнера (в принципе, "умный" компилятор применил бы схему Горнера сам, но ведь не все так умны, как кажутся)
}
 
void cubic_spline::free_mem()
{
        delete[] splines;
        splines = NULL;
}

Реализация на языке C# Платформа .NET

// Интерполирование функций естественными кубическими сплайнами
 
using System;
 
class CubicSpline
{
    SplineTuple[] splines; // Сплайн
 
    // Структура, описывающая сплайн на каждом сегменте сетки
    struct SplineTuple
    {
        public double a, b, c, d, x;
    }
 
    // Построение сплайна
    // x - узлы сетки, должны быть упорядочены по возрастанию, кратные узлы запрещены
    // y - значения функции в узлах сетки
    // n - количество узлов сетки
    public void BuildSpline(double[] x, double[] y, int n)
    {
        // Инициализация массива сплайнов
        splines = new SplineTuple[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i)
        {
            splines[i].x = x[i];
            splines[i].a = y[i];
        }
        splines[0].c = splines[n - 1].c = 0.0;
 
        // Решение СЛАУ относительно коэффициентов сплайнов c[i] методом прогонки для трехдиагональных матриц
        // Вычисление прогоночных коэффициентов - прямой ход метода прогонки
        double[] alpha = new double[n - 1];
        double[] beta = new double[n - 1];
        alpha[0] = beta[0] = 0.0;
        for (int i = 1; i < n - 1; ++i)
        {
            double h_i = x[i] - x[i - 1], h_i1 = x[i + 1] - x[i];
            double A = h_i;
            double C = 2.0 * (h_i + h_i1);
            double B = h_i1;
            double F = 6.0 * ((y[i + 1] - y[i]) / h_i1 - (y[i] - y[i - 1]) / h_i);
            double z = (A * alpha[i - 1] + C);
            alpha[i] = -B / z;
            beta[i] = (F - A * beta[i - 1]) / z;
        }
 
        // Нахождение решения - обратный ход метода прогонки
        for (int i = n - 2; i > 0; --i)
            splines[i].c = alpha[i] * splines[i + 1].c + beta[i];
 
        // Освобождение памяти, занимаемой прогоночными коэффициентами
        beta = null;
        alpha = null;
 
        // По известным коэффициентам c[i] находим значения b[i] и d[i]
        for (int i = n - 1; i > 0; --i)
        {
            double h_i = x[i] - x[i - 1];
            splines[i].d = (splines[i].c - splines[i - 1].c) / h_i;
            splines[i].b = h_i * (2.0 * splines[i].c + splines[i - 1].c) / 6.0 + (y[i] - y[i - 1]) / h_i;
        }
    }
 
    // Вычисление значения интерполированной функции в произвольной точке
    public double Func(double x)
    {
        if (splines == null)
            return double.NaN; // Если сплайны ещё не построены - возвращаем NaN
 
        int n = splines.Length;
        SplineTuple s;
 
        if (x <= splines[0].x) // Если x меньше точки сетки x[0] - пользуемся первым эл-тов массива
            s = splines[1];
        else if (x >= splines[n - 1].x) // Если x больше точки сетки x[n - 1] - пользуемся последним эл-том массива
            s = splines[n - 1];
        else // Иначе x лежит между граничными точками сетки - производим бинарный поиск нужного эл-та массива
        {
            int i = 0, j = n - 1;
            while (i + 1 < j)
            {
                int k = i + (j - i) / 2;
                if (x <= splines[k].x)
                    j = k;
                else
                    i = k;
            }
            s = splines[j];
        }
 
        double dx = (x - s.x);
        // Вычисляем значение сплайна в заданной точке по схеме Горнера (в принципе, "умный" компилятор применил бы схему Горнера сам, но ведь не все так умны, как кажутся)
        return s.a + (s.b + (s.c / 2.0 + s.d * dx / 6.0) * dx) * dx; 
    }
}

Литература

• Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4
• Костомаров Д. П., Фаворский А. П. Вводные лекции по численным методам.
• Волков Е. А. Глава 1. Приближение функций многочленами. § 11. Сплайны // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр.. — М.: Наука, 1987. — С. 63-68. — 248 с.

Ссылки

• Интерполяция кубическими сплайнами на JavaScript (рус.)