Квадратура (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Квадратура.

Квадратура (лат. quadratura, придание квадратной формы) — математический термин, первоначально обозначавший нахождение площади заданной фигуры или поверхности. В дальнейшем смысл термина постепенно менялся^[1] Задачи квадратуры послужили одним из главных источников возникновения в конце XVII века математического анализа.

В античные времена проведение квадратуры понималось как построение с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого данной фигуре (например, квадратура круга, Гиппократовы луночки). В качестве основного метода анализа тогда был принят метод исчерпывания Евдокса.

В средневековой Европе квадратура означала вычисление площади заданной области (например, квадратура арки циклоиды). Для этого чаще всего использовался метод неделимых.

С появлением интегрального исчисления вычисление площади свелось к интегрированию, и термин квадратура стал пониматься как синоним (определённого или неопределённого) интеграла. «Стало обычным вычисление интеграла называть квадратурой»^[2]

В настоящее время термин употребляется редко, в основном в следующих устойчивых словосочетаниях:

• Квадратурные формулы — формулы для оценки значения определённого интеграла.
• Привести к квадратурам (выразить в квадратурах, решить в квадратурах) — выразить в виде интеграла от комбинаций стандартных функций.

Исторический очерк

Математики Древней Греции, в соответствии с пифагорейской доктриной, понимали определение площади фигуры как построение с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого данной фигуре. Отсюда и происходит термин квадратура.

Античный метод нахождения среднего геометрического

Для квадратуры прямоугольника со сторонами a и b надо построить квадрат со стороной $x=\sqrt{ab}$ (среднее геометрическое a и b). Для этого можно использовать следующий факт: если построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, то высота BH, восставленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст их среднее геометрическое^[3]. Аналогичная геометрическая конструкция решает задачу квадратуры параллелограмма и треугольника. В общем виде задача квадратуры многоугольника решается в «Началах» Евклида (предложение 45 книги I и предложение 14 книги II).

Площадь сегмента параболы

Гораздо сложнее оказались задачи квадратуры криволинейных фигур. Квадратура круга, как окончательно было доказано в XIX веке, с помощью циркуля и линейки невозможна. Однако для некоторых фигур (например, Гиппократовы луночки) квадратуру всё же удалось провести. Высшим достижением античного анализа стали проведенные Архимедом квадратуры поверхности сферы и сегмента параболы:

• площадь поверхности сферы равна учетверённой площади большого круга этой сферы;
• площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок).

Надо отметить, что результат Архимеда для поверхности сферы уже выходит за пределы пифагорейского определения, так как не сводится к явному построению квадрата.

Для доказательства своих результатов Архимед использовал восходящий к Евдоксу «метод исчерпывания».

В XVII веке появился «метод неделимых», менее строгий, но более простой и мощный, чем метод исчерпывания. С его помощью Галилей и Роберваль нашли площадь арки циклоиды, а фламандец Грегуар де Сен-Венсан исследовал площадь под гиперболой («Opus Geometricum», 1647), причём Сараса (фр. Alphonse Antonio de Sarasa), ученик и комментатор де Сен-Венсана, уже отметил связь этой площади с логарифмами^[4]. Джон Валлис провёл алгебраизацию метода: он строит в «Арифметике бесконечных» (1656) числовые ряды, которые мы сейчас называем интегральными суммами, и находит эти суммы. Техника Валлиса получила дальнейшее развитие в трудах Исаака Барроу и Джеймса Грегори; были получены квадратуры для множества алгебраических кривых, а также спиралей. Гюйгенс успешно провёл квадратуру ряда поверхностей вращения, в частности, в 1651 году он опубликовал труд о квадратуре конических сечений под названием «Рассуждения о квадратуре гиперболы, эллипса и круга».

Дальнейший прогресс был связан с появлением интегрального исчисления, которое дало универсальный метод для вычисления площади. В связи с этим термин квадратура стал постепенно выходить из употребления, а в тех случаях, когда он использовался, стал синонимом термина интеграл. Небезынтересно, что Исаак Ньютон пытался вместо привычного для нас, лейбницевского обозначения интеграла, ввести свой символ — квадрат, который ставился перед интегрируемой функцией или содержал её внутри себя^[5].

См. также

• Квадратриса
• Квадратура круга
• Численное интегрирование

Литература

• Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции. // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. — № 11. — С. 225-440.
• Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература, 1963.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

• Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
• Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
• Том 3 Математика XVIII столетия. (1972)

Ссылки

• Бендукидзе А. Д. Архимед и квадратура параболы. Квант, 1971, № 7, стр. 7-10.

Примечания

1. ↑ . Квадратура (матем.). БСЭ. Архивировано из первоисточника 29 февраля 2012. Проверено 4 января 2010.
2. ↑ Фихтенгольц Г. М.. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1960. — Т. II, § 264.
   П.Ф. Фильчаков. Справочник по высшей математике. Киев, "Наукова думка", 1972.
3. ↑ Башмакова И. Г., 1958, с. 270
4. ↑ Бурбаки, 1963, с. 175
5. ↑ Бурбаки, 1963, с. 199