Конечное поле

Конечное поле или поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.

Конечное поле обычно обозначается $\mathbb{F}_q$ или $\mathrm{GF}(q)$, где $q$ — число элементов поля.

Простейшим примером конечного поля является $\mathbb{Z}_p$ — кольцо вычетов по модулю простого числа p.

Свойства

• Характеристика конечного поля является простым числом.
• Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени: $|\mathbb{F}_q|=q=p^n$.
• Для каждого простого числа $p$ и натурального $n$ существует конечное поле из $q=p^n$ элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена $x^q-x\in\mathbb{F}_p[x]$.
• Мультипликативная группа $\mathbb{F}^*_q$ конечного поля $\mathbb{F}_q$ является циклической группой порядка $q-1$.
  • В частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент $\alpha$, порядок которого равен $q-1$, то есть $\alpha^{q-1}=1$ и $\alpha^i \neq 1$ для $0<i<q-1$.
  • Любой ненулевой элемент $\beta$ является некоторой степенью примитивного элемента:

    $\beta = \alpha^i,\quad i \in \{0,1,...,q-2\}$.

• Поле $\mathbb{F}_{p^n}$ содержит в себе в качестве подполя $\mathbb{F}_{p^k}$ тогда и только тогда, когда $k$ является делителем $n$.

Примеры

• $\mathbb{Z}_p$, где $p$ — простое: $\mathbb{Z}_2,\;\mathbb{Z}_3,\;\mathbb{Z}_5,\;\mathbb{Z}_7$ и так далее.
• $\mathrm{GF}(p^n)=\mathbb{Z}_p[x]/\langle f(x)\rangle$, где $\langle f(x)\rangle$ — главный идеал кольца $\mathbb{Z}_p[x]$, порожденный неприводимым многочленом $f(x)\in\mathbb{Z}_p[x]$ степени $n$.

Построение

Построение поля $GF(p^n)$, где p — простое число, n — натуральное число, начинается с построения его простого подполя $GF(p)$ (которое совпадает со всем полем при n=1).

• Простое поле $GF(p)$ строится как кольцо $\mathbb{Z}_p$ вычетов по модулю $p$, которое в виду простоты $p$ не имеет делителей нуля и является полем.

Элементы $\mathbb{Z}_p$ — числа $0,\;1,\;2,\;\ldots,\;p-1$. Операции проводятся как с обычными целыми числами с приведением результата по модулю $p$.

• Поле $GF(p^n)$ при n>1 строится как факторкольцо $\mathbb{K}=\mathbb{Z}_p[x]/\langle f(x)\rangle$, где $f(x)$ — неприводимый многочлен степени n над полем $\mathbb{Z}_p$. Таким образом, для построения поля из $p^n$ элементов достаточно отыскать многочлен степени $n$, неприводимый над полем $\mathbb{Z}_p$.

Элементами поля $\mathbb{K}$ являются все многочлены степени меньшей $n$ с коэффициентами из $\mathbb{Z}_p$. Арифметические операции (сложение и умножение) проводятся по модулю многочлена $f(x)$, то есть, результат соответствующей операции — это остаток от деления на $f(x)$ с приведением коэффициентов по модулю $p$.

Пример построения поля GF(9)

Для построения поля $\mathrm{GF}(9) = \mathrm{GF}(3^2)$ необходимо найти многочлен степени 2, неприводимый над $\mathbb{Z}_3$. Такими многочленами являются:

$x^2+1$

$x^2+x+2$

$x^2+2x+2$

$2x^2+2$

$2x^2+x+1$

$2x^2+2x+1$

Возьмём, например, $x^2+1$, тогда искомое поле есть $\mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle$. Если вместо $x^2+1$ взять другой многочлен, то получится новое поле, изоморфное старому.

Таблица сложения в GF(9)

$\mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle$

+	0	1	2	$x$	$x+1$	$x+2$	$2x$	$2x+1$	$2x+2$
0	0	1	2	$x$	$x+1$	$x+2$	$2x$	$2x+1$	$2x+2$
1	1	2	0	$x+1$	$x+2$	$x$	$2x+1$	$2x+2$	$2x$
2	2	0	1	$x+2$	$x$	$x+1$	$2x+2$	$2x$	$2x+1$
$x$	$x$	$x+1$	$x+2$	$2x$	$2x+1$	$2x+2$	0	1	2
$x+1$	$x+1$	$x+2$	$x$	$2x+1$	$2x+2$	$2x$	1	2	0
$x+2$	$x+2$	$x$	$x+1$	$2x+2$	$2x$	$2x+1$	2	0	1
$2x$	$2x$	$2x+1$	$2x+2$	0	1	2	$x$	$x+1$	$x+2$
$2x+1$	$2x+1$	$2x+2$	$2x$	1	2	0	$x+1$	$x+2$	$x$
$2x+2$	$2x+2$	$2x$	$2x+1$	2	0	1	$x+2$	$x$	$x+1$

Таблица умножения в GF(9)

$\mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle$

×	0	1	2	$x$	$x+1$	$x+2$	$2x$	$2x+1$	$2x+2$
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	$x$	$x+1$	$x+2$	$2x$	$2x+1$	$2x+2$
2	0	2	1	$2x$	$2x+2$	$2x+1$	$x$	$x+2$	$x+1$
$x$	0	$x$	$2x$	2	$x+2$	$2x+2$	1	$x+1$	$2x+1$
$x+1$	0	$x+1$	$2x+2$	$x+2$	$2x$	1	$2x+1$	2	$x$
$x+2$	0	$x+2$	$2x+1$	$2x+2$	1	$x$	$x+1$	$2x$	2
$2x$	0	$2x$	$x$	1	$2x+1$	$x+1$	2	$2x+2$	$x+2$
$2x+1$	0	$2x+1$	$x+2$	$x+1$	2	$2x$	$2x+2$	$x$	1
$2x+2$	0	$2x+2$	$x+1$	$2x+1$	$x$	2	$x+2$	1	$2x$

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
• Лидл Р. Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1998.

См. также

• Поле
• Группа
• Первообразный корень
• Многочлен над конечным полем