Простое число

Просто́е число́ — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы.

Последовательность простых чисел начинается так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, … (последовательность A000040 в OEIS, см. также список простых чисел)

Разложение натуральных чисел в произведение простых

Основная статья: Факторизация целых чисел

Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Таким образом, простые числа — элементарные «строительные блоки» натуральных чисел.

Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением на простые или факторизацией числа. На настоящий момент неизвестны полиномиальные алгоритмы факторизации чисел, хотя и не доказано, что таких алгоритмов не существует. На предполагаемой большой вычислительной сложности задачи факторизации базируется криптосистема RSA и некоторые другие. Факторизация с полиномиальной сложностью теоретически возможна на квантовом компьютере с помощью алгоритма Шора.

Алгоритмы поиска и распознавания простых чисел

Основная статья: Тест простоты

Эратосфен Киренский

Простые способы нахождения начального списка простых чисел вплоть до некоторого значения дают Решето Эратосфена, решето Сундарама и решето Аткина.

Однако, на практике вместо получения списка простых чисел зачастую требуется проверить, является ли данное число простым. Алгоритмы, решающие эту задачу, называются тестами простоты. Существует множество полиномиальных тестов простоты, но большинство их являются вероятностными (например, тест Миллера — Рабина) и используются для нужд криптографии. В 2002 году было доказано, что задача проверки на простоту в общем виде полиномиально разрешима, но предложенный детерминированный тест Агравала — Каяла — Саксены имеет довольно большую вычислительную сложность, что затрудняет его практическое применение.

Для некоторых классов чисел существуют специализированные эффективные тесты простоты (см. ниже).

Бесконечность множества простых чисел

Простых чисел бесконечно много. Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так:

Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор. Противоречие.

Математики предлагали другие доказательства. Одно из них (приведённое Эйлером) показывает, что сумма величин, обратных к первым n простым числам, неограниченно растёт с ростом n.

Теорема о распределении простых чисел утверждает, что количество простых чисел меньших n, обозначаемое $\pi(n)$, растёт как $n/\ln(n)$.

Наибольшее известное простое

Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа^[1]. Один из рекордов поставил в своё время Эйлер, найдя простое число $2^{31}-1=2147483647$.

Наибольшим известным простым числом по состоянию на февраль 2011 года является $2^{43112609} - 1$. Оно содержит 12 978 189 десятичных цифр и является простым числом Мерсенна (M_43112609). Его нашли 23 августа 2008 года на математическом факультете университета UCLA в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS.

Числа Мерсенна выгодно отличаются от остальных наличием эффективного теста простоты: теста Люка — Лемера. Благодаря ему простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые.

За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF назначила^[2] денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США. Ранее EFF уже присуждала призы за нахождение простых чисел из 1 000 000 и 10 000 000 десятичных цифр.

Простые числа специального вида

Существует ряд чисел, простота которых может быть установлена эффективно с использованием специализированных алгоритмов.

• Числа Мерсенна — числа вида $M_p=2^p-1$, где p — простое число (последовательность A001348 в OEIS). Как уже было отмечено выше, эффективным тестом простоты является тест Люка-Лемера. Простые числа Мерсенна образуют последовательность A000668 в OEIS.
• Числа Ферма — числа вида $F_n=2^{2^n}+1$, где n — неотрицательное целое число (последовательность A000215 в OEIS). Эффективным тестом простоты является тест Пепина. По состоянию на ноябрь 2011 года известно только 5 простых чисел Ферма (для n = 0, 1, 2, 3, 4), и высказана гипотеза, что других простых чисел Ферма нет.
• Числа Вудала — числа вида $W_n=n \cdot 2^n-1$ (последовательность A003261 в OEIS). Эффективным тестом простоты является тест Люка-Лемера-Ризеля (англ.). Простые числа Вудала образуют последовательность A050918 в OEIS.

С использованием теста Бриллхарта-Лемера-Селфриджа (англ.) может быть проверена простота следующих чисел:

• Числа Каллена — числа вида $C_n=n \cdot 2^n+1$ (последовательность A002064 в OEIS). Простые числа Каллена образуют последовательность A050920 в OEIS.
• Числа Прота — числа вида $P=k \cdot 2^n+1$, причем k нечетно и $2^n>k$ (последовательность A080075 в OEIS). Числа Каллена являются частным случаем чисел Прота при k = n. Числа Ферма являются частным случаем чисел Прота при k = 1 и $n=2^m$. Простые числа Прота образуют последовательность A080076 в OEIS.

Для поиска простых чисел обозначенных типов в настоящее время используются проекты распределенных вычислений GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen or Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Некоторые свойства

• Если $p$ — простое, и $p$ делит $a b$, то $p$ делит $a$ или $b$. Доказательство этого факта было дано Евклидом и известно как лемма Евклида. Оно используется в доказательстве основной теоремы арифметики.
• Кольцо вычетов $\mathbb{Z}_n$ является полем тогда и только тогда, когда $n$ — простое.
• Характеристика каждого поля — это ноль или простое число.
• Если $p$ — простое, а $a$ — натуральное, то $a^p-a$ делится на $p$ (малая теорема Ферма).
• Если $G$ — конечная группа с $p^n$ элементов, то $G$ содержит элемент порядка $p$.
• Если $G$ — конечная группа, и $p^n$ — максимальная степень $p$, которая делит $|G|$, то $G$ имеет подгруппу порядка $p^n$, называемую силовской подгруппой, более того, количество силовских подгрупп равно $pk+1$ для некоторого целого $k$ (теоремы Силова).
• Натуральное $p > 1$ является простым тогда и только тогда, когда $(p-1)! + 1$ делится на $p$ (теорема Вильсона).
• Если $n > 1$ — натуральное, то существует простое $p$, такое, что $n < p < 2 n$ (постулат Бертрана).
• Ряд чисел, обратных к простым, расходится. Более того, при $x\to\infty$

  $\sum_{p<x} \frac{1}{p}\ \sim\ \ln \ln x.$

• Любая арифметическая прогрессия вида $a, a + q, a + 2 q, a + 3 q, ...$, где $a, q > 1$ — целые взаимно простые числа, содержит бесконечно много простых чисел (Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии).
• Всякое простое число, большее 3, представимо в виде $6k+1$ или $6k-1$, где $k$ — некоторое натуральное число. Отсюда, если разность между несколькими последовательными простыми числами (при k>1) одинакова, то она обязательно кратна 6 — например: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
• Если $p > 3$ — простое, то $p^2-1$ кратно 24 (справедливо также для всех нечётных чисел, не делящихся на 3)^[3].
• Теорема Грина-Тао. Существуют сколь угодно длинные конечные арифметические прогрессии, состоящие из простых чисел^[4].
• Никакое простое число не может иметь вид $n^k-1$, где n>2, k>1. Иначе говоря, число, следующее за простым, не может быть квадратом или более высокой степенью с основанием, бо́льшим 2. Из этого следует также, что если простое число имеет вид $2^k-1$, то k — простое (см. числа Мерсенна).
• Никакое простое число не может иметь вид $n^{2k+1}+1$, где n>1, k>0. Иначе говоря, число, предшествующее простому, не может быть кубом или более высокой нечётной степенью с основанием, бо́льшим 1^[5].

• Существуют многочлены, множество положительных значений которых при неотрицательных значениях переменных совпадает с множеством простых чисел. Одним из примеров является многочлен

  $\begin{align} &(k+2) (1 - [wz + h + j - q]^2 - [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z]^2 - [2n + p + q + z - e]^2 - \\ &[16(k + 1)^3(k + 2)(n + 1)^2 + 1 - f^2]^2 - [e^3(e + 2)(a + 1)^2 + 1 - o^2]^2 - [(a^2 - 1)y^2 + 1 - x^2]^2 - \\ &[16r^2y^4(a^2 - 1) + 1 - u^2]^2 - [((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy)^2 + 1 - (x + cu)^2]^2 - [n + l + v - y]^2 - \\ &[(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2]^2 - [ai + k + 1 - l - i]^2 - [p + l(a - n - 1) + b(2an + 2a - n^2 - 2n - 2) - m]^2 - \\ &[q + y(a - p - 1) + s(2ap + 2a - p^2 - 2p - 2) - x]^2 - [z + pl(a - p) + t(2ap - p^2 - 1) - pm]^2) \end{align}$

содержащий 26 переменных и имеющий степень 25. Наименьшая степень для известных многочленов такого типа — 5 при 42 переменных; наименьшее число переменных — 10 при степени около 15905.^[6] Этот результат является частным случаем доказанной Юрием Матиясевичем диофантовости любого перечислимого множества.

Открытые вопросы

Основная статья: Открытые проблемы в теории чисел

Распределение простых чисел p_n = f (Δs_n); Δs_n = p_n+1² — p_n². Δp_n = p_n+1 — p_n; Δp_n = 2, 4, 6, … .

До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел, наиболее известные из которых были перечислены Эдмундом Ландау на Пятом Международном математическом конгрессе^[7]:

1. Проблема Гольдбаха (первая проблема Ландау): верно ли, что каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел?
2. Вторая проблема Ландау: бесконечно ли множество «простых близнецов» — простых чисел, разность между которыми равна 2?
3. Гипотеза Лежандра (третья проблема Ландау): верно ли, что для всякого натурального числа n между $n^2$ и $(n + 1)^2$ всегда найдётся простое число?
4. Четвёртая проблема Ландау: бесконечно ли множество простых чисел вида $n^2 + 1$, где n — натуральное число?

Открытой проблемой является также существование бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях, включая числа Фибоначчи, числа Ферма и т. д.

Приложения

Большие простые числа (порядка $10^{300}$) используются в криптографии с открытым ключом. Простые числа также используются в хеш-таблицах и для генерации псевдослучайных чисел (в частности, в ГПСЧ вихрь Мерсенна).

Вариации и обобщения

• В теории колец, разделе абстрактной алгебры, определено понятие простого элемента и простого идеала.
• В теории узлов определено понятие простого узла (англ.), как нетривиального узла, который не может быть представлен в виде связной суммы нетривиальных узлов.

См. также

• Незаконное простое число
• Полупростое число
• Примориал
• Простые числа, отличающиеся на шесть
• Случайное простое число
• Составное число
• Список простых чисел

Примечания

1. ↑ Рекорды простых чисел по годам
2. ↑ EFF Cooperative Computing Awards (англ.)
3. ↑ Доказательство. Нечётное число p, не кратное 3, равно 1 или 2 по модулю 3 и равно 1, 3, 5 или 7 по модулю 8. При возведении в квадрат это даёт 1 по модулю 3 и 1 по модулю 8. Вычитая 1, получаем 0 по модулю 3 и 0 по модулю 8. Следовательно, $p^2-1$ кратно 3 и кратно 8; следовательно, оно кратно 24.
4. ↑ Weisstein, Eric W. Теорема Грина-Тао (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
5. ↑ Эти 2 свойства непосредственно следуют из формул разложения суммы и разности степеней.
6. ↑ [1]. Простые числа перечисляются полиномом от 10 переменных
7. ↑ Weisstein, Eric W. Landau's Problems (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• Гальперин Г. «Просто о простых числах» // Квант. — № 4. — С. 9-14,38.
• Нестеренко Ю. В. Алгоритмические проблемы теории чисел // Введение в криптографию / Под редакцией В. В. Ященко. — Питер, 2001. — 288 с. — ISBN 5-318-00443-1
• Василенко О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. — М.: МЦНМО, 2003. — 328 с. — ISBN 5-94057-103-4
• Черемушкин А. В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии. — М.: МЦНМО, 2002. — 104 с. — ISBN 5-94057-060-7
• Кноп К. «В погоне за простотой»
• Кордемский Б. А. Математическая смекалка. — М.: ГИФМЛ, 1958. — 576 с.
• Генри С. Уоррен, мл. Глава 16. Формулы для простых чисел // Алгоритмические трюки для программистов = Hacker's Delight. — М.: «Вильямс», 2007. — 288 с. — ISBN 0-201-91465-4
• Ю. Матиясевич. Формулы для простых чисел // Квант. — 1975. — № 5. — С. 5-13.
• Н. Карпушина. Палиндромы и «перевёртыши» среди простых чисел // Наука и жизнь. — 2010. — № 5.
• Д. Цагер. Первые 50 миллионов простых чисел // Успехи математических наук. — 1984. — Т. 39. — № 6(240). — С. 175–190.

Ссылки

• Математический проект "Простые числа"
• Онлайн-утилита для проверки простых чисел
• Программа расчёта простых чисел
• The Prime Pages (англ.) — база данных наибольших известных простых чисел
• PrimeGrid prime lists — все простые числа, найденные в рамках проекта PrimeGrid
• Геометрия простых и совершенных чисел (исп.)
• Geometrical connection between natural numbers and their factors