- Порядковое число
-
Порядковое число, ординал (лат. ordinalis — порядковый) или трансфинитное число (лат. trans — за, через + finitio — край, предел) в теории множеств — некоторое обобщение понятия натурального числа «за пределы бесконечности». Впервые введены Георгом Кантором в 1897 году с целью классификации вполне упорядоченных множеств. Играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств, в особенности в связи со связанным с ними принципом трансфинитной индукции.
Содержание
Определение
Порядковые числа допускают различные варианты в том или ином смысле эквивалентных определений. Одна из современных формулировок определения порядкового числа по фон Нейману выглядит следующим образом:
- Назовём множество транзитивным, если каждый элемент является подмножеством : .
- Удовлетворяющее аксиоме фундирования множество называется ординалом, или порядковым числом, если оно само и каждый его элемент транзитивны: .
Заметим, что аксиома фундирования существенно используется в этом определении, что необходимо учитывать при работе с аксиоматическими системами, отличными от системы Цермело — Френкеля.
Для обозначения порядковых чисел обычно используются строчные греческие буквы Данная статья придерживается таких обозначений.
Свойства
- Если — порядковое число, то каждый элемент — порядковое число.
- Для любых выполняется ровно одно из следующих соотношений:
- Любое множество порядковых чисел вполне упорядочено отношением (в частности, любое порядковое число, рассматриваемое как множество, вполне упорядочено отношением ), при этом — наименьший элемент множества , — порядковое число, большее или равное любому из элементов множества . Выражения и для порядковых чисел эквивалентны. Ниже подразумевается, что порядковые числа сравниваются с помощью отношения
- Для любого вполне упорядоченного множества существует единственное порядковое число, изоморфное (в частности, для любого множества порядковых чисел существует единственное порядковое число, изоморфное ему).
- Любое совпадает с множеством всех порядковых чисел, меньших, чем .
- Начальный сегмент любого порядкового числа является порядковым числом.
- Пустое множество — наименьшее порядковое число (а значит, оно является элементом любого другого порядкового числа).
- называется регулярным (синоним: непредельным), если либо оно равно , либо существует непосредственно предшествующее ему другими словами, если существует но между ними нельзя вставить другое порядковое число В последнем случае говорят, что — порядковое число, следующее за , и пишут: (иногда просто что оказывается согласованным с обозначением для суммы порядковых чисел).
- Порядковые числа, не являющиеся непредельными, называются предельными порядковыми числами (иногда тоже относят к предельным порядковым числам).
- Множество всех конечных порядковых чисел изоморфно множеству неотрицательных целых чисел, и для них используются такие же обозначения, как для целых чисел. При этом операции сложения, умножения и возведения в степень для порядковых чисел переходят в соответствующие операции для целых чисел. Несколько первых порядковых чисел:
- Множество всех конечных порядковых чисел обозначается Оно является наименьшим предельным порядковым числом и наименьшим бесконечным (а именно счётным) порядковым числом. Следующим за ним порядковым числом является
- Условие конечности можно записать как или, что то же самое,
- Существует бесконечное множество порядковых чисел, но не существует множества всех порядковых чисел. Иначе говоря, совокупность всех порядковых чисел является собственно классом.
- Каждое множество порядковых чисел ограничено сверху и имеет точную верхнюю грань, которая обозначается При этом
- Если — предельное порядковое число или , то иначе
- Точная верхняя грань счётного множества счётных порядковых чисел счётна.
- Каждое порядковое число имеет единственное представление в нормальной форме Кантора (англ.).
Арифметика порядковых чисел
Определения операций
- Сумма порядковых чисел рекурсивно определяется следующим образом:
- где третье правило применяется в случае, когда является предельным порядковым числом.
- Используя те же обозначения, определим операцию умножения:
- Используя те же обозначения, определим операцию возведения в степень:
Свойства операций
- Сложение порядковых чисел некоммутативно; в частности,
- Сложение порядковых чисел ассоциативно: что позволяет записывать сумму нескольких слагаемых без скобок.
- Сумма возрастает при росте правого слагаемого и не убывает при росте левого слагаемого: из следует и
- Если то существует единственный ординал , для которого
- Умножение порядковых чисел некоммутативно; в частности,
- Умножение порядковых чисел ассоциативно: что позволяет записывать произведение нескольких сомножителей без скобок.
- Для сложения и умножения выполняется левая дистрибутивность:
- В случае конечности аргументов сложение, умножение и возведение в степень переходят в соответствующие операции для целых чисел (с конечными результатами).
- В случае счётности аргументов результаты сложения, умножения и возведения в степень также являются счётными.
См. также
Литература
Числовые системы Счётные
множестваНатуральные числа () • Целые () • Рациональные () • Алгебраические () • Периоды • Вычислимые • Арифметические Вещественные числа
и их расширенияВещественные () • Комплексные () • Кватернионы () • Числа Кэли (октавы, октонионы) () • Седенионы () • Альтернионы • Процедура Кэли — Диксона • Дуальные • Гиперкомплексные • Суперреальные • Гиперреальные • Surreal number (англ.) Другие
числовые системыКардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа См. также Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион Категории:- Теория множеств
- Теория порядка
Wikimedia Foundation. 2010.