- Квадрат (число)
-
Квадрат или квадратное число — целое число, которое может быть записано в виде квадрата некоторого другого целого числа (иными словами, число, квадратный корень которого целый). Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.
Например, 9 — это квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3 (может быть представлено в виде квадрата 3 × 3 точки).
Содержание
Примеры
Последовательность квадратов начинается так:
- 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (последовательность A000290 в OEIS)
Таблица квадратов _0 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 0_ 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 1_ 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 2_ 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 3_ 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 4_ 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 5_ 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 6_ 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 7_ 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 8_ 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 9_ 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801 Свойства
- Четыре различных квадрата не могут образовывать арифметическую прогрессию.[1] Арифметические прогрессии из трёх квадратов существуют — например: 1, 25, 49.
- Каждое число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).
- 4900 — единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным.
- Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами.
- Последняя цифра квадрата в десятичной записи равна 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (квадратичные вычеты по модулю 10).
- Две последние цифры квадрата в десятичной записи равны 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 или 96 (квадратичные вычеты по модулю 100). Зависимость предпоследней цифры квадрата от последней можно представить в виде следующей таблицы:
-
последняя
цифрапредпоследняя
цифра0 0 5 2 1, 4, 9 чётная 6 нечётная
Геометрическое представление
1 4
9
16
25
Обобщения
Понятие квадрата обобщается на произвольные мультипликативные группы. В частности, в кольцах вычетов квадратам соответствуют квадратичные вычеты.
См. также
Примечания
- ↑ K. Brown. No Four Squares In Arithmetic Progression (англ.)
Ссылки
Категория:- Фигурные числа
Wikimedia Foundation. 2010.