Характеристика поля

Определение

Пусть R — произвольное кольцо. Если существует такое целое положительное n, что для каждого $r \in R$ выполняется равенство nr = 0, то наименьшее из таких чисел n (скажем, n₀) называется характеристикой кольца R, а само R называется кольцом положительной характеристики n₀. Если таких чисел не существует, то R называется кольцом характеристики 0.

Характеристика кольца R обозначается символом $\mathop{\mathrm{char}} R$.

Примеры

• Характеристики кольца целых чисел $\mathbb{Z}$, поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$, поля вещественных чисел $\mathbb{R}$, поля комплексных чисел $\mathbb{C}$ равны нулю.
• Характеристика кольца вычетов $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ равна n.
• Характеристика конечного поля $\mathbb{F}_{p^m}$, где p — простое число, m — положительное целое, равна p.

Свойства

• Если кольцо $R \neq \{0\}$ с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику n, то n — простое число. Следовательно, характеристика любого поля K есть либо 0, либо простое число p. В первом случае поле K содержит в качестве подполя поле изоморфное полю рациональных чисел $\mathbb{Q}$, во втором случае поле K содержит в качестве подполя поле изоморфное $\mathbb{F}_p$. В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в K).
• Характеристикой конечного поля является простое число. Заметим, что из того, что характеристика поля конечна, не следует, что поле конечно. Примерами таких полей являются поле рациональных функций над $\mathbb{F}_p$ и алгебраическое замыкание поля $\mathbb{F}_p$.
• Если R — коммутативное кольцо простой характеристики p, то $(a + b)^{p^n} = a^{p^n} + b^{p^n}$ для всех $a, b \in R$, $n \in \mathbb{N}$.

Литература

• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.