Неприводимый многочлен

Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.

Определение

Неприводимый многочлен над полем $k$ ― многочлен $p(x_1,x_2,..,x_n)$ от $n$ переменных над полем $k$ является простым элементом кольца $k[x_1,x_2,..,x_n]$, то есть, непредставим в виде произведения $p=qr$, где $q$ и $r$ ― многочлены с коэффициентами из $k$, отличные от констант.

Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида

$p(x_1,x_2,..,x_{n-1})+x_n$

абсолютно неприводим.

Корни неприводимого многочлена называются сопряженными.

Свойства

• Кольцо многочленов $k[x_1,x_2,..,x_n]$ факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей.
• Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант.
• Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен сколь угодно высокой степени; например, многочлен $x^n+px+p$, где $n>1$ и $p$ ― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.
• Если $k = F_q$ — конечное поле из $q$ элементов, а $n$ — натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из $k[x]$.
• Предположим $A$ ― целозамкнутое кольцо с полем частных $k$ (например $A=\Z$ и $k=\mathbb Q$) и $p\in A[x]$ ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда $p=qr$ в $k[x]$, причем $q$ и $r$ имеют старший коэффициент 1, то $q,r\in A[x]$.
• Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности $\sigma:A\to B$. Если степень многочлена $\sigma(p)$ совпадает со степенью многочлена $p$ и $\sigma(p)$ неприводим над полем частных области $B$, то не существует разложения $p=qr$, где $p, r\in A[x]$ и отличны от константы.
  • Например, многочлен $p$ со старшим коэффициентом $1$ прост в $\Z[x]$ (и, следовательно, неприводим в $\mathbb Q[x]$), если прост многочлен $\sigma(p)$, полученный из $p$ редукцией коэффициентов по модулю простого числа.

Примеры

Следующие пять многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства неприводимых многочленов:

$p_1(x)=x^2+4x+4\,={(x+2)(x+2)}$,

$p_2(x)=x^2-4\,={(x-2)(x+2)}$,

$p_3(x)=x^2-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)$,

$p_4(x)=x^2-2\,=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$,

$p_5(x)=x^2+1\,={(x-i)(x+i)}$.

Над кольцом $\Z$ целых чисел, первые два многочлена — приводимые, последние два — неприводимые. (Третий вообще не является многочленом над целыми числами).

Над полем $\Q$ рациональных чисел, первые три многочлена являются приводимыми, двое других — неприводимыми.

Над полем $\R$ действительных чисел, первые четыре многочлена — приводимые, но $p_5(x)$ является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например разложение многочлена $x^4 + 1$ в поле действительных чисел имеет вид $(x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)$. Оба множителя в данном разложении являются неприводимыми многочленами.

Над полем $\C$ комплексных чисел, все пять многочленов — приводимые. Фактически, каждый отличный от константы многочлен $p(x)$ над $\C$ может быть разложен на множители вида:

$p(x) = a(x-z_1)\cdots (x-z_n)$

где $\ n$ — степень многочлена, $\ a$ — старший коэффициент, $\ z_1,\ldots,z_n$ — корни $\ p(x)$. Поэтому единственными неприводимыми многочленами над $\C$ являются линейные многочлены (основная теорема алгебры).

Конечные поля

Многочлены с целочисленными коэффициентами, которые являются неприводимыми над полем $\Q$ могут быть приводимыми над конечным полем. Например, многочлен $x ^ 2 +1$ является неприводимым над $\Q$, но над полем $\mathbb F_2$ из двух элементов мы имеем:

$(x ^ 2 +1) = (x +1) ^ 2 \,$

Литература

• ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976;
• Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968;
• Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1―2, М., 1963.