Сопряжённый корень

Если задан некоторый неприводимый многочлен $f(x)$ над кольцом $K$ и выбран некоторый его корень $\alpha$ в расширении $K[\alpha]$, то сопряженным корнем для данного корня $\alpha$ многочлена $f(x)$ называется любой корень многочлена $f(x)$ (иногда, в зависимости от контекста, под сопряженным корнем понимается любой другой корень данного многочлена). Число сопряженных корней неприводимого многочлена равно степени $\operatorname{deg}f$ многочлена $f$. Также говорят, что элементы $\alpha,\beta$ являются сопряженными, если они являются корнями некоторого неприводимого многочлена $f$

Свойства

• Теорема Виета задает $\operatorname{deg}f$ алгебраических соотношений между сопряженными корнями многочлена.
• Если $K$ — поле, то Группа Галуа $Gal(K(\alpha),K)$ изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок, действующей на множестве сопряженных корней многочлена. Отображение корня в ему сопряженный задает автоморфизм расширения основного поля.

Примеры

• Если $f(x)=ax^2+bx+c$ — многочлен 2-й степени, то сопряженные корни имеют вид $r\pm\sqrt{s}$.
• Корни из единицы $\varepsilon ^j$ n-й степени являются сопряженными корнями многочлена $x^n-1=0$ над $\mathbb{R}(\varepsilon)$

См. также

• Корень многочлена
• Неприводимый многочлен
• Теорема Виета