Дискриминант

Дискримина́нт многочлена $p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$, есть произведение

$D(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2$, где $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ — все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Свойства

• Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
• Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
• $D(p)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n}R(p,p')$, где $R(p,p')$ — результант многочлена $p(x)$ и его производной $p'(x)$.
  • В частности, дискриминант многочлена

$p(x) = x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$

равен, с точностью до знака, определителю следующей $(2n-1)\times(2n-1)$-матрицы:

1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$	0	.	.	.	0
0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$	0	.	.	0
0	0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$
$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0	0	.	.	.	0
0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0	0	.	.	0
0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0
0	0	0	0	0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$

Примеры

• Дискриминант D квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$ равен $b^2-4ac$. При $D > 0$ корней — два, и они вычисляются по формуле

  $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a};$       (1)

• при $D = 0$ корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

  $x = \frac{-b}{2a};$

• при $D < 0$ вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

  $x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}.$

• Дискриминант многочлена $a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ равен

$-4a_1^3a_3 + a_1^2a_2^2 - 4a_0a_2^3 + 18a_0a_1a_2a_3 - 27a_0^2a_3^2.$

• В частности, дискриминант многочлена $x^3+px+q$ (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен $-27q^2-4p^3$.

История

Термин образован от лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл Сильвестр^[1].

Примечания

1. ↑ Matrices and Determinants — Numericana