Главный идеал

Определение

Левый идеал кольца $R$ называется главным левым идеалом, если он порождён одним элементом $a$. Аналогично определяются главные правые идеалы и главные двусторонние идеалы.

Общепринятых обозначений для главных идеалов нет. Иногда используют обозначения $\mathop{\mathrm{l\,id}}_R a$, $\mathop{\mathrm{r\,id}}_R a$, $\mathop{\mathrm{id}}_R a$ для левых, правых и двусторонних главных идеалов соответственно.

Если $R$ — коммутативное кольцо, то эти три понятия эквивалентны. В этом случае идеал, порождённый $a$, обозначают через $(a)$.

В случае ассоциативного кольца с единицей главные идеалы описываются следующим образом.

• $\mathop{\mathrm{l\,id}}_R a = Ra=\{ra: r\in R\}$.
• $\mathop{\mathrm{r\,id}}_R a = aR=\{ar: r\in R\}$.
• $\mathop{\mathrm{id}}_R a = RaR = \{r_1ar'_1 + r_2ar'_2 + \dots + r_nar'_n: r_1,r'_1,\dots,r_n,r'_n \in R\}$.

Если же $R$ — ассоциативное кольцо (вообще говоря без единицы), то

• $\mathop{\mathrm{l\,id}}_R a = Ra + \mathbb{Z}a = \{ra + ma: r \in R, m \in \mathbb{Z}\}$.
• $\mathop{\mathrm{r\,id}}_R a = aR + \mathbb{Z}a = \{ar + ma: r \in R, m \in \mathbb{Z}\}$.
• $\mathop{\mathrm{id}}_R a = RaR + aR + Ra + \mathbb{Z}a = \{r_1ar'_1 + r_2ar'_2 + \dots + r_nar'_n + ar' + r''a + ma: r', r'', r_1,r'_1,\dots,r_n,r'_n \in R, m \in \mathbb{Z}\}$.

Не все идеалы — главные. Рассмотрим, например, коммутативное кольцо $\mathbb{C}[x,y]$ многочленов с комплексными коэффициентами от двух переменных $x$ и $y$. Идеал $(x,y)$, порождённый многочленами $x$ и $y$, (то есть идеал состоящий из многочленов, у которых свободный член равен нулю) не будет главным. Чтобы доказать это, допустим, что этот идеал порождается некоторым элементом $a\in\mathbb{C}[x,y]$; тогда на него должны делиться $x$ и $y$. Это возможно, только если $a$ — ненулевая константа. Но в $(x,y)$ только одна константа — нуль. Приходим к противоречию.

Связанные определения

• Кольцо, все идеалы которого — главные, называется кольцом главных идеалов.
• Целостное кольцо главных идеалов называется также областью главных идеалов. В областях главных идеалов выполняется основная теорема арифметики (любой элемент однозначно разложим на простые множители); доказательство этого факта совпадает с доказательством для случая целых чисел.

Примеры

Все евклидовы кольца являются областями главных идеалов; в них для поиска порождающего элемента данного идеала можно использовать алгоритм Евклида. Вообще, у любых двух главных идеалов коммутативного кольца есть наибольший общий делитель в смысле умножения идеалов; благодаря этому в областях главных идеалов можно вычислять (с точностью до умножения на обратимый элемент) НОД элементов $a$ и $b$ как порождающий элемент идеала $(a,b)$.

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7