Циклическая группа

В теории групп группа $(G, \cdot)$ называется циклической, если она может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число). Математическое обозначение: $G = \langle a \rangle$.

Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени $g^n$ будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению ($\mathbb{Z}, +$).

Свойства

• Все циклические группы абелевы.
• Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе $\mathbb{Z}_n$ — $\{0,1,\dots,n-1\}$ со сложением по модулю n (её также обозначают $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$), а каждая бесконечная — изоморфна $\mathbb{Z}$, группе целых чисел по сложению.
  • В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n.
• Каждая подгруппа циклической группы циклична.
• У циклической группы порядка n существует ровно φ(n) порождающих элементов, где φ — функция Эйлера
• Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).
• Прямое произведение двух циклических групп порядков $n$ и $m$ циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты.
  • Например, $\mathbb{Z}_{12}$ изоморфна $\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4$, но не изоморфна $\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_2$.
• Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа $\mathbb{Z}_{p^n}$, где p — простое число, или $\mathbb{Z}$.
• Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).
• Кольцо эндоморфизмов группы $\mathbb{Z}_n$ изоморфно кольцу $\mathbb{Z}_n$. При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм $\mathbb{Z}_n$, который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, если и только если r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов $\mathbb{Z}_n$ изоморфна $\mathbb{Z}_n^{\times}$.

Примеры

• Группа корней из единицы степени n по умножению.
• Группа Галуа любого конечного расширения конечного поля конечна и циклична; обратно, если дано конечное поле F и конечная циклическая группа G, существует конечное расширение F группой Галуа которого будет G.

Доказательства

Утверждение. Каждая подгруппа циклической группы циклична.

Доказательство. Пусть $G$ — циклическая группа и $H$ — подгруппа группы $G$. Если группа $G$ тривиальна (состоит из одного элемента), то $H=G$ и $H$ циклична. Если $H$ — тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то $H$ циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что $G$ и $H$ не являются тривиальными.

Пусть $g$ — образующий элемент группы $G$, а $n$ — наименьшее положительное целое число, такое что $g^n \in H$. Утверждение: $H=\langle g^n \rangle$

$\langle g^n \rangle \subseteq H$

${\forall a \in \langle g^n \rangle}\ {\exists z \in \mathbb{Z}} \mid {a=(g^n)^z}$

$g^n \in H \Rightarrow (g^n)^z \in H \Rightarrow a \in H$

Следовательно, $\langle g^n \rangle \subseteq H$.

$H \subseteq \langle g^n \rangle$ 

Пусть $h \in H$.

$h \in H \Rightarrow h \in G \Rightarrow \exists x \in {\mathbb{Z}} \mid h=g^x$.

Согласно алгоритму деления с остатком $\exists q,r \in {\mathbb{Z}} \mid 0 \le r \le n-1 \and x=qn+r$

$h=g^x=g^{qn+r}=g^{qn}g^r=(g^n)^qg^r \Rightarrow g^r=h(g^n)^{-q}$.

$h,g^n \in H \Rightarrow g^r \in H$.

Исходя из того, каким образом мы выбрали $n$ и того, что $0 \le r \le n-1$, делаем вывод, что $r=0$.

$r=0 \Rightarrow h=(g^n)^qg^0=(g^n)^q \in \langle g^n \rangle$.

Следовательно, $H \subseteq \langle g^n \rangle$.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2001.
• Хамермеш М. Теория групп и её приложение к физическим проблемам. — М.: Мир, 1966.