Поле Галуа

Конечное поле или поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.

Конечное поле обычно обозначается $\mathbb{F}_q$ или GF(q), где q — число элементов поля.

Простейшим примером конечного поля является $\mathbb{Z}_p$ — кольцо вычетов по модулю простого числа.

Свойства конечных полей

• Характеристика конечного поля является простым числом.
• Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени: $|\mathbb{F}_q|=q=p^n$.
• Для каждого простого числа p и натурального n существует конечное поле из q = pⁿ элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена $x^q-x\in\mathbb{F}_p[x]$.
• В каждом поле существует по крайней мере один примитивный элемент α, то есть такой, что $\alpha^{q-1}=1, \alpha^i \neq 1, i< q-1$. Любой ненулевой элемент β является некоторой степенью примитивного элемента: $\beta = \alpha^i,\quad i \in \{0,1,...,q-2\}$.
• Мультипликативная группа $\mathbb{F}^*_q$ конечного поля $\mathbb{F}_q$ является циклической группой порядка q − 1. Поэтому, в частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент α, порядок которого равен q − 1, то есть α^{q − 1} = 1 и $\alpha^i \neq 1$ для 0 < i < q − 1.
• Поле $\mathbb{F}_{p^n}$ содержит в себе в качестве подполя $\mathbb{F}_{p^k}$ тогда и только тогда, когда k является делителем n.

Примеры конечных полей

• $\mathbb{Z}_p$, где p — простое: $\mathbb{Z}_2,\;\mathbb{Z}_3,\;\mathbb{Z}_5,\;\mathbb{Z}_7$ и так далее.
• $\mathrm{GF}(p^n)=\mathbb{Z}_p[x]/\langle f(x)\rangle$, где $\langle f(x)\rangle$ — главный идеал кольца $\mathbb{Z}_p[x]$, порожденный неприводимым многочленом $f(x)\in\mathbb{Z}_p[x]$ степени n.

Построение конечных полей

Существует два варианта построения, в зависимости от количества элементов поля, которое необходимо построить:

• Поле содержит p элементов, где p — простое.

Кольцо $\mathbb{Z}_n$ вычетов по модулю n в случае простого n = p не имеет делителей нуля и является полем.

Элементы $\mathbb{Z}_p$ — числа $0,\;1,\;2,\;\ldots,\;p-1$. Операции проводятся как с обычными целыми числами с приведением по модулю p.

• Поле содержит q = pⁿ элементов, где p — простое, n — натуральное.

Кольцо $\mathbb{K}=\mathbb{F}_p[x]/\langle f(x)\rangle$ является полем тогда и только тогда, когда многочлен f(x) неприводим над полем $\mathbb{F}_p$. При этом $|\mathbb{K}|=p^m$, где m = deg(f). Таким образом, для построения поля из q = pⁿ элементов достаточно отыскать многочлен степени n, неприводимый над полем $\mathbb{F}_p$, и определить $\mathbb{K}$ как указано выше.

Элементами поля $\mathbb{K}$ являются все многочлены степени меньшей n с коэффициентами из $\mathbb{F}_p$. Операции (сложение и умножение) проводятся по модулю многочлена f(x), то есть результат соответствующей операции — это остаток от деления на f(x) с приведением коэффициентов по модулю p.

Пример построения поля GF(9)

Пусть надо построить поле GF(9) = GF(3²). Для этого необходимо найти многочлен степени 2, неприводимый в $\mathbb{Z}_3$. Такими многочленами являются

x2 + 1

x2 + x + 2

x2 + 2x + 2

2x2 + 2

2x2 + x + 1

2x2 + 2x + 1

Возьмём, например, x² + 1, тогда искомое поле есть $\mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle$. Если вместо x² + 1 взять другой многочлен, то получится новое поле, изоморфное старому.

Таблица сложения в GF(9)

$\mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle$

+	0	1	2	x	x + 1	x + 2	2x	2x + 1	2x + 2
0	0	1	2	x	x + 1	x + 2	2x	2x + 1	2x + 2
1	1	2	0	x + 1	x + 2	x	2x + 1	2x + 2	2x
2	2	0	1	x + 2	x	x + 1	2x + 2	2x	2x + 1
x	x	x + 1	x + 2	2x	2x + 1	2x + 2	0	1	2
x + 1	x + 1	x + 2	x	2x + 1	2x + 2	2x	1	2	0
x + 2	x + 2	x	x + 1	2x + 2	2x	2x + 1	2	0	1
2x	2x	2x + 1	2x + 2	0	1	2	x	x + 1	x + 2
2x + 1	2x + 1	2x + 2	2x	1	2	0	x + 1	x + 2	x
2x + 2	2x + 2	2x	2x + 1	2	0	1	x + 2	x	x + 1

Таблица умножения в GF(9)

$\mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle$

×	0	1	2	x	x + 1	x + 2	2x	2x + 1	2x + 2
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	x	x + 1	x + 2	2x	2x + 1	2x + 2
2	0	2	1	2x	2x + 2	2x + 1	x	x + 2	x + 1
x	0	x	2x	2	x + 2	2x + 2	1	x + 1	2x + 1
x + 1	0	x + 1	2x + 2	x + 2	2x	1	2x + 1	2	x
x + 2	0	x + 2	2x + 1	2x + 2	1	x	x + 1	2x	2
2x	0	2x	x	1	2x + 1	x + 1	2	2x + 2	x + 2
2x + 1	0	2x + 1	x + 2	x + 1	2	2x	2x + 2	x	1
2x + 2	0	2x + 2	x + 1	2x + 1	x	2	x + 2	1	2x

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7

См. также

• Поле
• Группа
• Первообразный корень
• Многочлен над конечным полем