Коммутативная группа

Коммутативная группа

Абелева или коммутативная группа есть группа, в которой групповая операция является коммутативной; то есть группа G абелева если ab = ba для любых двух элементов a,\;b\in G.

Групповая операция в абелевых группах обычно называется «сложением» и обозначается знаком + .

Название дано в честь норвежского математика Абеля за его вклад в исследование групп подстановок.

Содержание

Примеры

  • Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
  • Любая циклическая группа G=\langle a\rangle. Действительно, для любых x = an и y = am верно, что
    xy = aman = am + n = anam = yx.
  • Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению. В том числе и вещественные числа с операцией сложения.
  • Обратимые элементы коммутативного кольца, в частности, ненулевые элементы любого поля, образуют абелеву группу по умножению. Например, вещественные числа, не равные нулю, с операцией умножения.

Связанные определения

  • По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность пространства над полем рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

Свойства

  • Конечнопорождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
    • Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
  • Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть nнатуральное число, а x — элемент коммутативной группы G с операцией, обозначаемой +, тогда nx можно определить как x+x+\ldots+x (n раз) и ( − n)x = − (nx).
  • Множество гомоморфизмов \operatorname{Hom}(G,\;H) всех групповых гомоморфизмов из G в H само является абелевой группой. Действительно, пусть f,\;g:G\to H — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма f + g, заданная как (f + g)(x) = f(x) + g(x), тоже является гомоморфизмом (это неверно, если H некоммутативная группа).

Конечные абелевы группы

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. \Z_{mn} изоморфно прямой сумме \Z_m и \Z_n тогда и только тогда, когда m и n взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу G в форме прямой суммы

\Z_{k_1}\oplus\ldots\oplus\Z_{k_u}

двумя различными способами:

  • Где числа k_1,\;\ldots,\;k_u степени простых
  • Где k1 делит k2, которое делит k3, и так далее до ku.

Например, \Z/15\Z=\Z_{15} может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: \Z/15\Z=\{0,\;5,\;10\}\oplus\{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}. То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать, приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

Вариации и обобщения

  • Дифференциальной группой называется абелева группа \mathbf{C}, в которой задан такой эндоморфизм d\colon\mathbf{C}\to\mathbf{C}, что d2 = 0. Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра \ker\,dциклами, элементы образа \mathrm{Im}\,dграницами.

См. также

Литература

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Коммутативная группа" в других словарях:

  • КОММУТАТИВНАЯ ГРУППА — то же, что абелева группа …   Математическая энциклопедия

  • ГРУППА — множество, на к ром определена операция, наз. умножением и удовлетворяющая спец. условиям (групповым аксиомам): в Г. существует единичный элемент; для каждого элемента Г. существует обратный; операция умножения ассоциативна. Понятие Г. возникло… …   Физическая энциклопедия

  • Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе, в теории представлений, алгебраической геометрии, K теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика, который ввёл это понятие в середине 1950 х… …   Википедия

  • КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, изучающий свойства коммутативных колец и связанных с ними объектов ( идеалов, модулей, нормирований и т. д.). К. а. выросла из задач, возникавших в теории чисел и алгебраич. геометрии. Задачи эти, как правило, относились к… …   Математическая энциклопедия

  • Группа Бурбаки — Николя Бурбаки (фр. Nicolas Bourbaki)  коллективный псевдоним группы французских математиков (позднее в нее вошли несколько иностранцев), созданной в 1935 году. Шарль Дени Бурбаки, французский генерал, фамилия которого была взята в качестве… …   Википедия

  • Коммутативная операция — Первое известное использование термина коммутативность …   Википедия

  • КОММУТАТИВНАЯ ГРУППОВАЯ СХЕМА — групповая схема Gнад базисной схемой S, значение к рой на любой S схеме является абелевой группой. Примерами К. г. с. служат абелевы схемы и алгебраические торы. Обобщением алгебраич. торов в рамках теории групповых схем служит следующее понятие …   Математическая энциклопедия

  • КОММУТАТИВНАЯ БАНАХОВА АЛГЕБРА — банахова алгебра Ас единицей над полем С, в к рой ху=ух для всех Всякий максимальный идеал К. б. а. Аявляется ядром нек рого линейного непрерывного мультипликативного функционала j на А, т …   Математическая энциклопедия

  • Конечно определенная группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • Конечно определённая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»