- Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
-
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
где
- — искомая функция,
- — её -тая производная,
- — фиксированные числа,
- — заданная функция (когда , имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).
Содержание
Однородное уравнение
Определение
Кратный корень многочлена — некое число делящееся без остатка на , но не на , где
-
- — число, называемое корнем кратности;
- — число, называемое кратностью корня.
Уравнение порядка n
Однородное уравнение:
интегрируется следующим образом:
Пусть — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения
кратностей , соответственно, .
Тогда функции
являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.
Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.
Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида
и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.
Уравнение второго порядка
Однородное уравнение второго порядка:
интегрируется следующим образом:
Пусть — корни характеристического уравнения.
- ,
являющегося квадратным уравнением.
Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта :
- при уравнение имеет два различных вещественных корня
Общее решение имеет вид:
- при — два совпадающих вещественных корня
Общее решение имеет вид:
- при существуют два комплексно сопряженных корня
Общее решение имеет вид:
Неоднородное уравнение
Неоднородное уравнение интегрируется методом вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа).
Вид общего решения неоднородного уравнения
Если дано частное решение неоднородного уравнения , и — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой
где — произвольные постоянные.
Принцип суперпозиции
Как в общем случае линейных уравнений, имеет место принцип суперпозиции, используемый в разных формулировках принципа суперпозиции в физике.
В случае, когда функция в правой части состоит из суммы двух функций
- ,
частное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций
- ,
где являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями , соответственно.
Частный случай: квазимногочлен
В случае, когда — квазимногочлен, то есть
где — многочлены, частное решение уравнения ищется в виде
где
- многочлены, , коэффициенты которых находятся подстановкой в уравнение и вычисление методом неопределенных коэффициентов.
- является кратностью комплексного числа , как корня характеристического уравнения однородного уравнения.
В частности, когда
где — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде
Здесь — многочлен, , с неопределенными коэффициентами, которые находятся подстановкой в уравнение. является кратностью , как корня характеристического уравнения однородного уравнения.
Когда же
где — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде
Здесь — многочлен, , а является кратностью нуля, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.
Уравнение Коши — Эйлера
Уравнение Коши — Эйлера является частным случаем линейного дифференциального уравнения вида:
- ,
приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой вида .
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Проставив сноски, внести более точные указания на источники.
Категория:- Дифференциальные уравнения
Wikimedia Foundation. 2010.