Волшебный квадрат

Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица $n\times n$, заполненная n² числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n². Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n² + 1.

Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков $n\ge 1$, за исключением n = 2, хотя случай n = 1 тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой

$M(n) = \frac{n(n^2+1)}{2}$

Первые значения магических констант приведены в следующей таблице (последовательность A006003 в OEIS):

Порядок n	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
M (n)	15	34	65	111	175	260	369	505	671	870	1105

Исторически значимые магические квадраты

Квадрат Ло Шу

Изображение Ло Шу в книге эпохи Мин

Ло Шу (кит. трад. 洛書, упрощ. 洛书, пиньинь luò shū) Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 до н.э..

4	9	2
3	5	7
8	1	6

.

Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия)

Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо:

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых "дьявольских" квадратов.^[1][2][3]

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)

В 13 в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37)^[4]:

27	29	2	4	13	36
9	11	20	22	31	18
32	25	7	3	21	23
14	16	34	30	12	5
28	6	15	17	26	19
1	24	33	35	8	10

Квадрат Альбрехта Дюрера

Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия»

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве.^[5]Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514).

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.

Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) — квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия^[6]:

67 1 43 13 37 61 31 73 7

3 61 19 37 43 31 5 41 7 11 73 29 67 17 23 13

Есть еще несколько подобных примеров:

17	89	71
113	59	5
47	29	101

1	823	821	809	811	797	19	29	313	31	23	37
89	83	211	79	641	631	619	709	617	53	43	739
97	227	103	107	193	557	719	727	607	139	757	281
223	653	499	197	109	113	563	479	173	761	587	157
367	379	521	383	241	467	257	263	269	167	601	599
349	359	353	647	389	331	317	311	409	307	293	449
503	523	233	337	547	397	421	17	401	271	431	433
229	491	373	487	461	251	443	463	137	439	457	283
509	199	73	541	347	191	181	569	577	571	163	593
661	101	643	239	691	701	127	131	179	613	277	151
659	673	677	683	71	67	61	47	59	743	733	41
827	3	7	5	13	11	787	769	773	419	149	751

Последний квадрат, построенный в 1913 г. Дж.Н.Манси, примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2.

Квадраты с дополнительными свойствами

Дьявольский магический квадрат

Дьявольский магический квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Такие квадраты называются ещё пандиагональными.

Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и их дополнительную симметрию — торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата:

1 8 13 12 14 11 2 7 4 5 16 9 15 10 3 6

1 12 7 14 8 13 2 11 10 3 16 5 15 6 9 4

1 8 11 14 12 13 2 7 6 3 16 9 15 10 5 4

Однако было доказано^[7], что из последнего третьего варианта простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата. То есть третий вариант — это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные.

Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n = 4k + 2 ($k=1,2,3,\dots$).

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные.^[8]

Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.

1	15	24	8	17
9	18	2	11	25
12	21	10	19	3
20	4	13	22	6
23	7	16	5	14

Разломанные диагонали пандиагонального квадрата

Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название идеальный^[9]. Пример идеального магического квадрата:

21	32	70	26	28	69	22	36	65
40	81	2	39	77	7	44	73	6
62	10	51	58	18	47	57	14	52
66	23	34	71	19	33	67	27	29
4	45	74	3	41	79	8	37	78
53	55	15	49	63	11	48	59	16
30	68	25	35	64	24	31	72	20
76	9	38	75	5	43	80	1	42
17	46	60	13	54	56	12	50	61

Известно, что не существует идеальных магических квадратов порядка n = 4k+2 и квадрата порядка n = 4. В то же время, существуют идеальные квадраты порядка n = 8.^[10] Методом построения составных квадратов можно построить на базе данного квадрата восьмого порядка идеальные квадраты порядка n = 8k, k=5,7,9...и порядка n = 8^p, p=2,3,4...^[11] В 2008 г. разработан комбинаторный метод построения идеальных квадратов порядка n = 4k , k = 2, 3, 4,... Идеальные магические квадраты легко строятся с использованием цепей Александрова.

Построение магических квадратов

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы.^[12][13] Найти все магические квадраты порядка n удается только для $n\le 4$, поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при n > 4. Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка. Нужно в клетку с координатами (i,j) поставить число 1 + ((i − j + (n − 1) / 2)mod n)n + (( − i − j + (n + 1) / 2)mod n).

Ещё проще построение выполнить следующим образом. Берётся матрица n x n . Внутри её строится ступенчатый ромб. В нём ячейки слева вверх по диагоналям заполняются последовательным рядом нечётных чисел. Определяется значение центральной ячейки C. Тогда в углах магического квадрата значения будут такими: верхняя правая ячейка C-1 ; нижня левая ячейка C+1 ; нижняя правая ячейка C-n ; верхняя левая ячейка C+n. Заполнение пустых ячеек в ступенчатых угловых треугольниках ведётся с соблюдением простых правил: 1)по строкам числа слева направо увеличиваются с шагом n + 1; 2) по столбцам сверху вниз числа увеличиваются с шагом n-1.

Также разработаны алгоритмы построения пандиагональных квадратов,^[14][15] как впрочем и пандиагональных и ассоциативных магических квадратов 9x9.^{[16] [17]} Эти результаты позволяют строить идеальные магические квадраты порядков n = 9(2k + 1) для $k=0,1,2,3,\dots$.^[9][18] Существует также общий метод компоновки идеальных магических квадратов нечетного порядка n > 3.^[19] Разработан метод построения идеальных магических квадратов порядка n=8k,k=1,2,3...^[20] Пандиагональные квадраты четно-нечетного порядка удается скомпоновать лишь в том случае, если они нетрадиционные.^[21][22][23]. Тем не менее, можно находить почти пандиагональные квадраты ^[24] Найдена особая группа идеально-совершенных магических квадратов (традиционных и нетрадиционных)^[25].

Примеры более сложных квадратов

Методически строго отработаны магические квадраты нечётного порядка и порядка двойной чётности.^[26] Формализация квадратов порядка одинарной чётности намного труднее, что иллюстрируют следующие схемы:

18 24 5 6 12 22 3 9 15 16 1 7 13 19 25 10 11 17 23 4 14 20 21 2 8

64 2 3 61 60 6 7 57 9 55 54 12 13 51 50 16 17 47 46 20 21 43 42 24 40 26 27 37 36 30 31 33 32 34 35 29 28 38 39 25 41 23 22 44 45 19 18 48 49 15 14 52 53 11 10 56 8 58 59 5 4 62 63 1

100 99 93 7 5 6 4 8 92 91 11 89 88 84 16 15 17 83 82 20 30 22 78 77 75 26 74 73 29 21 61 39 33 67 66 65 64 38 32 40 60 52 48 44 56 55 47 43 49 51 50 42 53 54 46 45 57 58 59 41 31 62 63 37 36 35 34 68 69 70 71 72 28 27 25 76 24 23 79 80 81 19 18 14 85 86 87 13 12 90 10 9 3 94 95 96 97 98 2 1

Существуют несколько десятков других методов построения магических квадратов

Шахматный подход

Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков назад в Индии. Поэтому неслучайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал Эйлер. Он попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня. Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы чисел отличались от магической константы. Тем не менее шахматная разбивка позволяет создавать любой магический квадрат. Цифры заполняются регулярно и построчно с учётом цвета ячеек.

Изображение схем построения магических квадратов.

.

Литература

• Я. В. Успенский. Избранные математические развлечения. – Издательство “Сеятель”, 1924
• Б. А. Кордемский. Математическая смекалка. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957
• М. М. Постников. Магические квадраты. – М.: Наука, 1964
• Н.М. Рудин. От магического квадрата к шахматам. М.: Физкультура и спорт, 1969
• Е. Я. Гуревич. Тайна древнего талисмана. – М.: Наука, 1969
• Мартин Гарднер. Математические досуги. – М.: Мир, 1972
• Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1989
• Ю. В. Чебраков. Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. – СПб.: СПб гос. техн. ун-т, 1995
• Ю. В. Чебраков. Теория магических матриц. Выпуск ТММ-1. – Санкт-Петербург: 2008 (электронная версия книги: http://chebrakov.narod.ru/ )
• М. Гарднер. Путешествие во времени. – М.: Мир, 1990. Электронная версия книги: http://publ.lib.ru/ARCHIVES/G/GARDNER_Martin/Puteshestvie_vo_vremeni.%20%5bdjv%5D.zip

Ссылки

1. ↑ [1]
2. ↑ [2]
3. ↑ Mathline: Magic Squares and Stars(англ.)
4. ↑ В.Е. Еремеев «Традиционная наука Китая», Глава 5: Математика.
5. ↑ Н.Макарова «Магический квадрат Дюрера»
6. ↑ А.К. Дьюдени «Просеивание числового песка в поисках простых чисел»
7. ↑ Г.Александров «О числе пандиагональных квадратов 4x4»
8. ↑ Н.Макарова «Совершенные магические квадраты»
9. ↑ ^{1 2} Г.Александров «Идеальные магические квадраты порядка n = 9 + 18k, где $k=2,3,4,\dots$»
10. ↑ H.Danielsson «Ultramagisches Quadrat 8. Ordnung»(нем.)
11. ↑ Н.Макарова «Идеальные квадраты чётно-чётного порядка»
12. ↑ Энциклопедия «Кругосвет»: «Магический квадрат».
13. ↑ Н. Макарова «Методы построения магических квадратов (обзорная статья)»
14. ↑ Г.Александров «Метод построения идеального магического квадрата нечётного порядка»
15. ↑ Г.Александров
    • «Идеальный panmagic»
    • «Пандиагональный квадрат порядка 4k»
    • «Программа на Yabasic для построения пандиагонального квадрата порядка n = 4»
16. ↑ Г.Александров
    • «Идеальный магический квадрат 9 x 9»
    • «Еще один идеальный квадрат 9 x 9»
17. ↑ Н.Макарова «Магические квадраты девятого порядка»
18. ↑ Н.Макарова «Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных девяти»
19. ↑ Г.Александров
    • «Идеальные магические квадраты»
    • «Пять примеров идеальных магических квадратов 21x21»
    • «Идеальные магические квадраты любого нечетного порядка n>3»
20. ↑ Н.Макарова «Метод построения идеальных квадратов порядка n = 8k»
21. ↑ Е.Слкуни «Нетрадиционные пандиагональные магические квадраты 6-го порядка»
22. ↑ Н.Макарова «Нетрадиционные магические квадраты
23. ↑ Г.Александров «Идеальный нетрадиционный магический квадрат порядка n=4k+2
24. ↑ Г.Александров «Почти пандиагональные магические квадраты порядка 4k+2»
25. ↑ Г.Александров «Идеальный совершенный магический квадрат четного порядка
26. ↑ [3]

• Магические квадраты(англ.)
• Н.Макарова
  • «Волшебный мир магических квадратов»
  • «Магические квадраты: основные понятия; построение с помощью компьютера»
  • «Методы построения магических квадратов»
  • «Построение магических квадратов чётно-нечётного порядка методом четырёх квадратов»
  • «Пандиагональные магические квадраты»
  • «Полумагические квадраты»
  • «Пандиагональные квадраты пятого порядка»
  • «Базовые пандиагональные квадраты пятого порядка»
  • «Ассоциативные магические квадраты»
  • «Магические квадраты седьмого порядка»
  • «Магические квадраты восьмого порядка»
  • «Магические квадраты одиннадцатого порядка»
  • «Магические квадраты двенадцатого порядка»
  • «Магические квадраты пятнадцатого порядка»
  • «Пандиагональные квадраты чётно-чётных порядков»
  • «Идеальные квадраты. Метод качелей.»
  • «Метод качелей для пандиагональных квадратов чётно-чётного порядка.»
  • «Квадраты Франклина.»
  • «Разработка древнего алгоритма.»
  • «Метод построения идеальных магических квадратов порядка n=k^p.»
  • «Построение совершенных магических квадратов методом качелей.»
  • «Метод построения совершенных магических квадратов из обратимых.»
  • «Метод построения совершенных магических квадратов с помощью обобщённых латинских квадратов.»
  • «Метод построения идеальных магических квадратов нечётного порядка с помощью латинских квадратов.»
  • «Полные комплекты квадратов Франклина.»
  • «Метод построения нетрадиционных идеальных квадратов порядка n=4k+2.»
  • «Новые аспекты метода латинских квадратов.»
• Магический квадрат - иллюзия предугадывания

• М.Гарднер «Рецензия на книгу Кэтлин Оллереншоу и Дэвида Бри»
• H.Heinz Magic Squares, Magic Stars & Other Patterns(англ.)
• Н.Скрябина, В.Дубовской Магические квадраты
• Шахматный подход
• Цепи Александрова
• Цепи Александрова. Аналитические выражения
• Г.Александров
  • «Магия чисел и слов (Монография, 266 с.)»
  • «Магические квадраты регулярного вида»
  • «Идеальные магические квадраты 8х8 и 12х12»
  • «Идеальные магические квадраты 20х20,28x28,36х36»
  • «Идеальный магический квадрат порядка 8k. Самый простой метод построения»
  • «Идеальные магические квадраты порядка 4k »
  • «Идеальные магические квадраты»
  • «Построение идеального магического квадрата из двух латинских квадратов»
  • «Идеальные магические квадраты, приведенные к единому началу»
  • «Красивый способ построения магических квадратов»

См. также

• Латинский квадрат