Тор (поверхность)

У этого термина существуют и другие значения, см. Тор.

Красным - образующая окружность

Тор (тороид) — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности.

Ось тора

Ось тора может лежать вне образующей окружности либо касаться её.

• Изменение расстояния до оси вращения
• 
• 
• 
• 
• 
• 

При сечении тора вращения «диагональной» касательной плоскостью, проходящей через центр тора (эта плоскость автоматически получается бикасательной) образуются окружности Вилларсо.

Уравнения

Параметрическое

Уравнение тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения R и с радиусом образующей окружности r может быть задано параметрически в виде:

• $\left\{ \begin{matrix} x(\varphi,\psi) = & (R + r \cos \varphi) \cos \psi \\ y(\varphi,\psi) = & (R + r \cos \varphi) \sin \psi \\ z(\varphi,\psi) = & r \sin \varphi \\ \end{matrix} \right. \qquad \varphi, \psi \in [0;2\pi)$

Алгебраическое

Непараметрическое уравнение в тех же координатах и с теми же радиусами имеет четвёртую степень:

$\left( x^2+y^2+z^2+R^2-r^2 \right)^2-4R^2\left(x^2+y^2\right)=0$

В частности, тор является поверхностью четвёртого порядка.

Свойства

• Площадь поверхности тора как следствие из первой теоремы Гюльдена: $S=4\pi^2 R r$.

Объём тела, ограничиваемого тором (полнотория), как следствие из второй теоремы Гульдина: $V=2\pi^2 R r^2$.

• Тор с вырезанным диском («проколотый») можно вывернуть наизнанку непрерывным образом (топологически, то есть серией диффеоморфизмов). При этом две пересекающиеся перпендикулярно окружности на нём («параллель» и «меридиан») поменяются местами.^[1]

Этапы выворачивания тора

Анимация, показывающая разрезание тора бикасательной плоскостью и две получающиеся окружности Вилларсо

*

• Два таких «дырявых» тора, сцепленных между собой, можно продеформировать так, чтобы один из торов «проглотил» другой.^[2]

Вариант окраски участков тора

• Минимальное число цветов, необходимое для раскрашивания участков тора так, чтобы соседние были разного цвета, равно 7. См. также Проблема четырёх красок.

Сечения

• При сечении тора бикасательной плоскостью, получающаяся кривая четвёртого порядка оказывается вырожденной: пересечение является объединением двух окружностей называемых окружностями Вилларсо.
  • В частности открытый тор может быть представлен как поверхность вращения окружности зацепленной за ось вращения
• Одно из сечений открытого тора — лемниската Бернулли, другие кривые линии являются графическими линиями и называются кривыми Персея^[3] (спирическими линиями, сечениями тора плоскостью, параллельной его оси)
• Некоторые пересечения поверхности тора плоскостью внешне напоминают эллипс (кривую 2-го порядка). Получаемая таким образом кривая выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка^[4].

Сечения

История

Тороидальная поверхность впервые была рассмотрена древнегреческим математиком Архитом при решении задачи об удвоении куба. Другой древнегреческий математик, Персей, написал книгу о спирических линиях — сечениях тора плоскостью, параллельной его оси.

Вариации и обобщения

• В топологии тор определяется как произведение двух окружностей $S^1\times S^1$; обобщением этого понятия является $n$-мерный тор $T^n=S^1\underbrace{\times \dots\times}_{n \text{ times }} S^1=\R^n/\Z^n.$

Литература

• Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7

См. также

• Полноторие
• Цилиндрические и тороидальные шахматы

Примечания

1. ↑ Этапы выворачивания тора были приведены в статье Альберта Такера и Герберта Бейли «Топология» в Scientific American в январе 1950 г.
2. ↑ Подробности приведены в статьей М. Гарднера в Scientific American за март 1977 Другие парадоксы, связанные с торами можно найти в статьях М. Гарднера, опубликованных в Scientific American в декабре 1972 и декабре 1979 гг.
3. ↑ Теоретические основы решения задач по начертательной геометрии: Учебное пособие
4. ↑ Пересечение сферы и тора плоскостью. Пример построения «линии среза» на поверхности комбинированного тела вращения

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.