Площадь поверхности

У этого термина существуют и другие значения, см. Площадь (значения).

Площадь поверхности гиперсферы размерности x единичного радиуса в зависимости от x.

Площадь поверхности — аддитивная числовая характеристика поверхности.

Определения

Проще всего определяется площадь многогранных поверхностей: как сумма площадей их плоских граней.

Чаще всего площадь поверхности определяют для класса кусочно гладких поверхностей с кусочно гладким краем (или без края). Обычно это делают с помощью следующей конструкции. Поверхность разбивают на мелкие части с кусочно гладкими границами: в каждой части выбирают точку, в которой существует касательная плоскость, и ортогонально проектируют рассматриваемую часть на касательную плоскость поверхности в выбранной точке; площадь полученных плоских проекций суммируют; наконец, переходят к пределу при всё более мелких разбиениях (таких, что наибольший из диаметров частей разбиения стремится к нулю). На указанном классе поверхностей этот предел всегда существует, и если поверхность задана параметрически кусочно $C^1$-гладкой функцией $r(u,v)$, где параметры $u$, $v$ изменяются в области $D$ на плоскости $(u,v)$, то площадь $S$ выражается двойным интегралом

$S=\iint\limits_D\sqrt{\det g_{ij}} dudv$

где $g_{11}=|r_u|^2$, $g_{12}=\langle r_u,r_v\rangle$, $g_{22}=|r_v|^2$, a $r_u$ и $r_v$ — частные производные по $u$ и $v$. В частности, если поверхность есть график $C^1$-гладкой функции $z=f(x,y)$ над областью $D$ на плоскости $(x,y)$, то

$S=\iint\limits_D\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}dxdy$

На основе этих формул выводятся известные формулы для площади сферы и её частей, обосновываются приёмы для вычисления площади поверхностей вращения и т. п.

Для двумерных кусочно гладких поверхностей в римановых многообразиях эта формула служит определением площади, при этом роль $g_{11}$, $g_{12}$, $g_{22}$ играют составляющие метрического тензора самой поверхности.

Замечания

• Попытка ввести понятие площади кривых поверхностей как предела площадей вписанных многогранных поверхностей (подобно тому, как длина кривой определяется как предел вписанных ломаных) встречает трудность. Даже для весьма простой кривой поверхности площадь вписанных в неё многогранников со всё более мелкими гранями может иметь разные пределы в зависимости от выбора последовательности многогранников. Это наглядно демонстрирует известный пример, так называемый сапог Шварца, в котором последовательности вписанных многогранников с разными пределами площади строятся для боковой поверхности прямого кругового цилиндра.
• Существенно, что уже в случае двумерной поверхности площадь приписывается не множеству точек, а отображению двумерного многообразия в пространство и тем отличается от меры.

См. также

• Парадокс маляра

Литература

• В. Н. Дубровский, В поисках определения площади поверхности. Квант. 1978. № 5. С.31—34.

• В. Н. Дубровский, Площадь поверхности по Минковскому. Квант. 1979. № 4. С.33—35.