Сапог Шварца

Сапог Шварца — семейство приближений кругового цилиндра с помощью полиэдральных поверхностей.

Предельная площадь этих приближений может быть сделана произвольно большой. Эта конструкция позволяет увидеть несостоятельность определения площади поверхности как точной верхней грани площадей вписанных в неё полиэдральных поверхностей, в противоположность тому, что длина кривой может быть определена как точная верхняя грань длин вписанных в неё ломаных.

Данная конструкция была предложена Карлом Шварцем в 1890 году.

Конструкция

Высота цилиндра делится плоскостями, параллельными основаниям, на $n$ равных частей. В образовавшиеся сечения (окружности) вписываются правильные $k$-угольники, причём соседние $k$-угольники повёрнуты относительно друг друга на угол $\pi/k$. Затем вершины $k$-угольников соединяются так, что образуется поверхность из $2nk$ треугольников; каждый её "слой" — антипризма. Полученная полиэдральная поверхость называется сапогом Шварца.

Если $n, k\to\infty$, то размеры этих треугольников становятся сколь угодно малыми, то есть сапог Шварца стремится к цилиндру.

Свойства

• Простой подсчёт показывает, что
  • при $k, n/k\to\infty$ площадь, т. е. сумма площадей всех треугольных граней сапога Шварца, стремится к бесконечности.
  • при $n, k/n\to\infty$ площадь сапога Шварца, стремится к площади кругового цилиндра.
• Относительно его внутренней метрики, сапог Шварца изометричен некоторому круговому цилиндру.

Литература

• Фихтенгольц, Г. М. Курс дифферениального и интегрального исчисления, том 3, М. 1969
• Берже М. Геометрия, том 1, Мир 1984