Параметрические поверхности

Параметрические поверхности

Параметрические поверхности

Класс трёхмерных параметрических поверхностей определяется функцией F(t_1,\ldots,t_k):\mathbb{M}\to\mathbb{R}^3, зависящей от k параметров и отображающей некоторое связное множество \mathbb{M} из n-мерного пространства в трёхмерное пространство таким образом, что это отображение является поверхностью. Эта функция F задаёт класс поверхностей, а набор k параметров - конкретную поверхность из этого класса.

Наиболее практичным является случай, когда множество \mathbb{M} является единичным квадратом в двумерном пространстве. В этом случае параметрическую поверхность можно описать так:

(x,y,z) = F(u,v) или \left\{ \begin{array}{ccc} 
x &=& X(u,v) \\
y &=& Y(u,v) \\
z &=& Z(u,v)
\end{array}\right., где (u,v)\in[0,1]

Параметрические поверхности широко используются в прикладной геометрии и компьютерной графике для представления сложных поверхностей. Параметризация делает такие поверхности удобными для обработки и отображения.

Содержание

Параметризация простейших поверхностей

Точка \vec{O} и базис из двух неколлинеарных векторов \vec{l}_1,\vec{l}_2 в трёхмерном пространстве определяет плоскость и отображение на неё двумерной декартовой системы координат. Тем самым определяется uv-параметризация плоскости (u и v - параметры):

(x,y)=\vec{O}+u\vec{l}_1+v\vec{l}_2
  • Плоский N-угольник

В общем случае параметризацию в N-угольнике можно ввести используя систему барицентрических координат.

Этот важнейший частный случай N-угольника заслуживает особого внимания. Наиболее распространённый способ параметризации треугольника - линейное отображение на него треугольника из uv-пространства.

Для параметризации сферы удобнее всего использовать одноимённую систему координат:

\left\{\begin{array}{ccc} 
x &=& \rho\cos\varphi\cos\theta \\
y &=& \rho\cos\varphi\sin\theta \\
z &=& \rho\sin\varphi\end{array}\right.,\quad \varphi\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],\;\theta\in[0,2\pi).

Вполне естественно использовать цилиндрическую систему координат:

\left\{\begin{array}{ccc} 
x &=& \rho\cos\varphi \\
y &=& \rho\sin\varphi \\
z &=& h\end{array}\right.,\quad \varphi\in[0,2\pi).

Кривые поверхности

Упорядоченный набор из 4-х точек в пространстве P_1,\ldots,P_4 определяет билинейную интерполяционную поверхность и задаёт отображение на неё квадрата u,v\in[0,1]:

(x,y) = P1uv + P2(1 − u)v + P3u(1 − v) + P4(1 − u)(1 − v)

Эта поверхность является гладкой, однако невозможность задавать произвольные касательные на её границе делает её практически неприменимой в качестве патчей

На практике применяется в основном два вида поверхностей Безье: бикубическая 3-го порядка - четырёхугольник, определяемый 16-ю точками, и барицентрическая 3-го порядка - треугольник, определяемый 10 точками. Барицентрическая система координат в треугольнике содержит 3 числа, поэтому она не всегда удобна.

Граница поверхности Безье состоит из кривых Безье. Точки, определяющие поверхность, определяют также кривые её границы, включая нормали на них. Это позволяет создавать гладкие составные поверхности, то есть использовать поверхности Безье в качестве патчей

Рациональная поверхность Безье отличается тем, что каждой точке в её определении назначен некоторый «вес», определяющий степень её влияния на форму поверхности.

На практике обычно применяются бикубические B-сплайновые поверхности. Как и поверхности Безье, они определяются 16-ю точками, однако в общем случае не проходят через эти точки. Однако B-сплайны удобно использовать в качестве патчей, так как они хорошо стыкуются друг с другом при использовании общей сетки вершин, а сами вершины позволяют явным образом задавать нормали и касательные на границах патчей.

При необходимости более гибкого управления формой поверхности применяют рациональные B-сплайны, неоднородные B-сплайны, а также комбинированный вариант - неоднородные рациональные B-сплайны (NURBS).

Свойства параметрических поверхностей

Пусть \frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}X'_u & X'_v \\ Y'_u & Y'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(y,z)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}Y'_u & Y'_v \\ Z'_u & Z'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(z,x)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}Z'_u & Z'_v \\ X'_u & X'_v \end{vmatrix}. Тогда:

  • Нормаль в точке поверхности определяется выражением:
\frac{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)};\,\frac{D(y,z)}{D(u,v)};\,\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)}{\sqrt{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2}}
\frac{D(y,z)}{D(u,v)}_{u_0,v_0}(x-x_0)+\frac{D(z,x)}{D(u,v)}_{u_0,v_0}(y-y_0)+\frac{D(x,y)}{D(u,v)}_{u_0,v_0}(z-z_0)=0
  • Площадь параметрически заданной поверхности рассчитывается по формулам:
\iint\,\sqrt{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2}\;\mathrm{d}\,u\mathrm{d}\,v

Или

\iint\,\left|[\dot{r}_u\times\dot{r}_v]\right|\;\mathrm{d}\,u\;\mathrm{d}\,v, где \dot{r}_u=\left(\frac{\partial x}{\partial u},\,\frac{\partial y}{\partial u},\,\frac{\partial z}{\partial u}\right), \quad \dot{r}_v=\left(\frac{\partial x}{\partial v},\,\frac{\partial y}{\partial v},\,\frac{\partial z}{\partial v}\right)

Литература

  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. — М.: Дрофа. — 570 с.
  • Роджерс Д.,Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Параметрические поверхности" в других словарях:

  • Параметрическое задание поверхности — Класс трёхмерных параметрических поверхностей определяется функцией , зависящей от параметров и отображающей некоторое связное множество из n мерного пространства в трёхмерное пространство таким образом, что это отображение является поверхностью …   Википедия

  • Графический конвейер — Графический конвейер  аппаратно программный комплекс визуализации трёхмерной графики. Содержание 1 Элементы трехмерной сцены 1.1 Аппаратные средства 1.2 Программные интерфейсы …   Википедия

  • Параметрическая поверхность — Класс трёхмерных параметрических поверхностей определяется функцией , зависящей от k параметров и отображающей некоторое связное множество из n мерного пространства в трёхмерное пространство таким образом, что это отображение является… …   Википедия

  • НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА — раздел оптики, охватывающий исследования распространения мощных световых пучков в тв. телах, жидкостях и газах и их вз ствия с в вом. Сильное световое поле изменяет оптич. хар ки среды (показатель преломления, коэфф. поглощения), к рые становятся …   Физическая энциклопедия

  • Нефтяная вышка — (Oil derrick) Устройство, предназначение и использование нефтяных вышек Информация об устройстве, назначении, описании и использовании нефтяных вышек Содержание — это разрушения с помощью специальной техники. Различают два вида бурения:… …   Энциклопедия инвестора

  • Дифференциальная геометрия —         раздел геометрии, в котором геометрические образы изучаются методами математического анализа. Главными объектами Д. г. являются произвольные достаточно гладкие кривые (линии) и поверхности евклидова пространства, а также семейства линий и …   Большая советская энциклопедия

  • ArchiCAD — Эта статья или раздел носит ярко выраженный рекламный характер. Это не соответствует правилам Википедии. Вы можете помочь проекту, исправив текст согласно стилистическим рекомендациям Википедии …   Википедия

  • Нелинейная оптика —         раздел физической оптики, охватывающий исследование распространения мощных световых пучков в твёрдых телах, жидкостях и газах и их взаимодействие с веществом. С появлением Лазеров оптика получила в своё распоряжение источники когерентного …   Большая советская энциклопедия

  • ДВИЖЕНИЯ — ДВИЖЕНИЯ. Содержание: Геометрия Д....................452 Кинематика Д...................456 Динамика Д....................461 Двигательные механизмы............465 Методы изучения Д. человека.........471 Патология Д. человека ............. 474… …   Большая медицинская энциклопедия

  • Р 50.1.075-2011: Разработка стандартов на термины и определения — Терминология Р 50.1.075 2011: Разработка стандартов на термины и определения: 15 (стационарный) котел сверхкритического давления (Нрк. стационарный котел закритического давления): Паровой стационарный котел для получения пара выше критического… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»