Поверхность Безье

В компьютерной графике построение поверхности Безье на трёхмерных объектах позволяет сгладить неровности фигуры.

Поверхность Безье — параметрическая поверхность, используемая в компьютерной графике, автоматизированном проектировании, и моделировании. Это одно из распространённых пространственных обобщений кривой Безье.

При кусочном моделировании (patch modeling) для задания и изменения формы куска, представляющего собой пространственную решетку из сплайнов или Многоугольников, применяется сеть контрольных точек. Эти точки управления, также известные как контрольные вершины (control vertices — CV) оказывают на гибкую поверхность куска подобное магнитному влияние, при котором поверхность растягивается в том или ином направлении. Кроме того, куски можно и дальше подразделять на элементы для достижения большего разрешения и «сшивать» друг с другом, тем самым создавая сложные объёмные поверхности. Так же, как и сплайновые, кусочные модели используются при создании органических форм.

Уравнение поверхности

Поверхность Безье

Поверхность Безье порядка $(n,m)$ задаётся $(n+1)\cdot(m+1)$ контрольными точками $\mathbf{P}_{i,j}$. Точки поверхности рассчитываются следующей параметризацией:

$\mathbf{p}(u, v) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m B_i^n(u) \; B_j^m(v) \; \mathbf{P}_{i,j}$,

где $u,v\in(0,1)$, а $B$ — многочлены Бернштейна:

$B_i^n(u) = {n \choose i} \; u^i (1-u)^{n-i} = \frac{n!}{i! (n-i)!} \; u^i (1-u)^{n-i}$

Наиболее часто используются бикубические поверхности Безье $(n=m=3)$, задающиеся шестнадцатью контрольными точками.

Литература

• Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4
• BEZIER_SURFACE. Routines for Bezier Surface Information  (англ.) — Библиотека функций Matlab и Fortran, позволяющая исследовать свойства Безье-поверхностей. Распространяется в соответствии с лицензией LGPL.

См. также

	Category:Bezier surfaces на Викискладе?

• Кривая Безье
• NURBS
• B-сплайн
• Поверхность