Теорема Котельникова

Теоре́ма Коте́льникова (в англоязычной литературе — теорема Найквиста — Шеннона или теорема отсчётов) гласит, что, если аналоговый сигнал $x(t)\;$ имеет финитный (ограниченный по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой, строго большей удвоенной верхней частоты $f_c\;$:

$~f>2 f_c$

Пояснение

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временно́й характеристике точек разрыва. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный частотой $f_c\;$».

Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и обычно имеют разрывы во временно́й характеристике. Соответственно, их спектр бесконечен. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно и из теоремы Котельникова вытекают два следствия:

• Любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой $f>2f_c\;$, где $f_c\;$ — максимальная частота, которой ограничен спектр реального сигнала.

• Если максимальная частота в сигнале превышает половину частоты дискретизации, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.

Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал $x(t)\;$ можно представить в виде интерполяционного ряда

$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k\Delta)\mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{\Delta}\left(t - k\Delta\right)\right],$

где $\mathrm{sinc}(x)=\sin(x)/x\;$ — функция sinc. Интервал дискретизации удовлетворяет ограничениям $0<\Delta\leq1/(2f_c).$ Мгновенные значения данного ряда есть дискретные отсчёты сигнала $x(k\Delta)\;$.

История открытия

Хотя в западной литературе теорема часто называется теоремой Найквиста со ссылкой на работу 1928 года «Certain topics in telegraph transmission theory», в этой работе речь идёт лишь о требуемой полосе линии связи для передачи импульсного сигнала (частота следования должна быть меньше удвоенной полосы). Таким образом, в контексте теоремы отсчётов справедливо говорить лишь о частоте Найквиста. Примерно в это же время Карл Купфмюллер получил тот же результат.^[1] О возможности полной реконструкции исходного сигнала по дискретным отсчётам в этих работах речь не идёт. Теорема была предложена и доказана В. А. Котельниковым в 1933 году в работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи», в которой, в частности, была сформулирована одна из теорем следующим образом^[2][3]: «Любую функцию $f(t)\;$, состоящую из частот от 0 до $f_c\;$, можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через $1/(2f_c)\;$ секунд». Независимо от него эту теорему в 1949 (через 16 лет) году доказал Клод Шеннон^[4], поэтому в западной литературе эту теорему часто называют теоремой Шеннона. В 1999 году Международный научный фонд Эдуарда Рейна (Германия) признал приоритет В. А. Котельникова, наградив его премией в номинации «за фундаментальные исследования» за впервые математически точно сформулированную и доказанную в аспекте коммуникационных технологий теорему отсчётов.^[5] Исторические разыскания показывают, однако, что теорема отсчётов как в части утверждения возможности реконструкции аналогового сигнала по дискретным отсчётам, так и в части способа реконструкции, рассматривалась в математическом плане многими учеными и ранее. В частности, первая часть была сформулирована ещё в 1897 году Борелем.^[6]

Развитие теоремы

Впоследствии было предложено большое число различных способов аппроксимации сигналов с ограниченным спектром, обобщающих теорему отсчётов.^[7][8] Так, вместо кардинального ряда по функциям sinc, являющимся характеристическими функциями прямоугольных импульсов, можно использовать ряды по конечно- или бесконечнократным свёрткам функций sinc. Например, справедливо следующее обобщение ряда Котельникова непрерывной функции $x(t)\;$ с финитным спектром $(\mathrm{supp}\;\hat{x}=[-f_c,f_c])$ на основе преобразований Фурье атомарных функций^[9]:

$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{x(k\Delta)\prod_{n=1}^{M}\mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{a^{n-1}\Delta}(t-k\Delta)\right]}$

где параметры $a, M\;$ удовлетворяют неравенству $a^{M-1}(a-2)+1>0\;$, а интервал дискретизации

$0<\Delta\leq\frac{1}{2f_c}\left[1+\frac{a^{M-1}+1}{a^{M-1}(a-1)}\right].$

См. также

• Интерполяционная формула Уиттекера — Шеннона
• Частота Найквиста
• Основной цифровой канал
• Экстраполятор нулевого порядка
• Экстраполятор первого порядка
• Квантование (обработка сигналов)
• Передискретизация
• Теорема отсчётов в частотной области

Примечания

1. ↑ K. Küpfmüller. Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler. Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, no. 11, pp. 459—467, 1928. (German); K. Küpfmüller, On the dynamics of automatic gain controllers, Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, no. 11, pp. 459—467. (English translation)
2. ↑ Котельников В. А. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи // Успехи физических наук : Журнал. — 2006. — № 7. — С. 762-770.
3. ↑ Спектры и анализ / А. А. Харкевич. — 4-е изд. — Москва : URSS : ЛКИ, 2007. — С. 89
4. ↑ C. E. Shannon. Communication in the presence of noise. Proc. Institute of Radio Engineers. Vol. 37. No. 1. P. 10—21. Jan. 1949.
5. ↑ К 100-летию со дня рождения академика Котельникова Владимира Александровича
6. ↑ Erik Meijering. A Chronology of Interpolation From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing, Proc. IEEE, 90, 2002. DOI:10.1109/5.993400
7. ↑ Джерри А. Дж. Теорема отсчётов Шеннона, её различные обобщения и приложения. Обзор. — ТИИЭР, т. 65, № 11, 1977, с. 53—89.
8. ↑ Хургин Я. И., Яковлев В. П. Прогресс в Советском Союзе в области теории финитных функций и её применений в физике и технике. — ТИИЭР, 1977, т. 65, № 7, с. 16—45.
9. ↑ Басараб М. А., Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф., Яковлев В. П. Цифровая обработка сигналов на основе теоремы Уиттекера-Котельникова-Шеннона. — М.: Радиотехника, 2004.

Литература

• H. Nyquist. Certain topics in telegraph transmission theory. Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617—644, Apr. 1928.
• Котельников В. А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи — Всесоюзный энергетический комитет. // Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933. Репринт статьи в журнале УФН, 176:7 (2006), 762—770.