Экстраполятор первого порядка

Экстраполятор первого порядка — математическая модель для восстановления дискретизованного сигнала, которое может производиться обычным цифро-аналоговым преобразователем (который в данном случае выступает в качестве экстраполятора нулевого порядка) и аналоговой схемой (интегратором). В этом случае сигнал восстанавливается в виде кусочно-линейной аппроксимации изначально оцифрованного сигнала. По сравнению с экстраполятором нулевого порядка экстраполятор первого порядка в общем случае имеет меньший шум квантования и, следовательно, более точно восстанавливает сигнал.

Математическая модель

Идеально оцифрованный сигнал x_s(t).

Пусть x_s(t) — сигнал до оцифровки, и x(nT) — сигнал после оцифровки. Тогда экстраполятор нулевого порядка есть фильтр преобразующий идеально оцифрованный сигнал $x_s(t)\,$ $= x(t) \ T \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \$ |$= T \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t - nT) \$

Кусочно-линейный сигнал x_FOH(t).

в кусочно-линейный сигнал

$x_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \mathrm{tri} \left(\frac{t - nT}{T} \right) \$

Импульсная передаточная функция экстраполятора первого порядка h_FOH(t).

и имеющий импульсную передаточную функцию

$h_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \frac{1}{T} \mathrm{tri} \left(\frac{t}{T} \right) = \begin{cases} \frac{1}{T} \left( 1 - \frac{|t|}{T} \right) & \mbox{if } |t| < T \\ 0 & \mbox{otherwise} \end{cases} \$

где $\mathrm{tri}(x) \$ — треугольная функция.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика экстраполятора первого порядка есть преобразование Фурье его импульсной передаточной функции:

$H_{\mathrm{FOH}}(f)\,$ $= \mathcal{F} \{ h_{\mathrm{FOH}}(t) \} \$ $= \left( \frac{e^{i \pi fT} - e^{-i \pi fT}}{i 2 \pi fT} \right)^2 \$ $= \mathrm{sinc}^2(fT) \$

где $\mathrm{sinc}(x) \$ — sinc-функция.

Передаточная функция экстраполятора первого порядка получается формальной заменой s = i 2 π f:

$H_{\mathrm{FOH}}(s)\,$ $= \mathcal{L} \{ h_{\mathrm{FOH}}(t) \} \$ $= \left( \frac{e^{sT/2} - e^{-sT/2}}{sT} \right)^2 \$

См. также

• Теорема Котельникова
• Экстраполятор нулевого порядка