- Гиперсфера
-
Гиперсфера — гиперповерхность в -мерном евклидовом пространстве, образованная точками равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.
- при гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
- при она представляет собой окружность;
- при гиперсфера является сферой.
- при гиперсфера является 3-сферой.
Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является -мерным подмногообразием в -мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.
Содержание
Уравнения
Гиперсфера радиуса с центром в точке задается как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:
Гиперсферические координаты
Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:
а сферические координаты так:
n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:
Якобиан этого преобразования равен
Площадь и объем
Площадь поверхности гиперсферы размерности и объем , ограниченный ею (объем шара), можно рассчитать по формулам [1] [2]:
где
а — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:
Здесь — двойной факториал.
Так как
то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению
Следующая таблица показывает, что единичные сфера и объем принимают экстремальный размер для и соответственно.
Площади и объемы гиперсфер и гипершаров при единичном радиусе Размерность 1 (длина) 2 (площадь) 3 (объем) 4 5 6 7 8 Единичная сфера
Десятичная запись
6.2832 12.5664 19.7392 26.3189 31.0063 33.0734 32.4697 29.6866 Единичный шар
Десятичная запись
2.0000 3.1416 4.1888 4.9348 5.2638 5.1677 4.7248 4.0587 Топология гиперсферы
В данном разделе под сферой будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром — n-мерный гипершар, то есть , .
- Сфера гомеоморфна факторизации шара по его границе.
- Шар гомеоморфен факторизации .
- Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных и . Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные , и сферу , являющуюся их общей границей.
Примечания
- ↑ Виноградов И.М. Математическая энциклопедия. — М.: Наука, 1977, - т.5, с. 287, статья "Сфера" - формула объема n-мерной сферы
- ↑ Л. А.Максимов, А. В.Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объема n-мерной сферы через интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса
См. также
Ссылки
- Гиперсфера (проект d’Amateur). Программы моделирования аппроксимации четырёхмерной гиперсферы и меридианов
- Тренажер для развития воображения гиперсферы: кубик Рубика в 4 и более измерениях
Размерность пространства Пространство Одномерное • Двумерное • Трёхмерное • Четырёхмерное • Пятимерное (англ.) • Шестимерное (англ.) • Семимерное (англ.) • Восьмимерное (англ.) • n-мерное • Пространство-время • Проективное пространство Политопы и фигуры Симплекс • Гиперкуб • Гиперпрямоугольник (ортотоп) (англ.) • Полугиперкуб (англ.) • Кросс-политоп (англ.) • Гиперсфера Концепции Прямоугольная система координат • Линейная алгебра • Геометрическая алгебра (англ.) • Conformal geometry • Плоскость поворота (англ.) • Пространство • Дробная размерность (Размерность Минковского, размерность Хаусдорфа) • Мультивселенная • Многообразие Математика Категории:- Поверхности
- Евклидова геометрия
- Многомерная евклидова геометрия
Wikimedia Foundation. 2010.