- Симплекс
-
Запрос «Симплекс» перенаправляется сюда; см. также другие значения.
Симплекс или n-мерный тетраэдр (от лат. simplex — простой) — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.
Содержание
Определение
Симплекс есть выпуклая оболочка n+1 точек, не лежащих в одной гиперплоскости n-мерного Евклидова пространства. Эти точки называются вершинами симплекса.
Связанные определения
- Симплекс называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину.
Стандартный симплекс
Стандартный n-симплекс это подмножество , определяемое как:
Его вершинами являются точки:
- e0=(1, 0, …, 0),
- e1=(0, 1, …, 0),
- …
- en=(0, 0, …, 1).
Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного n-симплекса в любой другой n-симплекс с координатами вершин :
Значения ti для данной точки называются её барицентрическими координатами.
Свойства
- n-мерный симплекс имеет вершин, любые из которых образуют k-мерную грань.
- В частности, число k-мерных граней в n-симплексе равно биномиальному коэффициенту
- В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно .
- Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле:
- Определитель Кэли — Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:
- Определитель Кэли — Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:
-
- где — расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников.
- Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен
- Радиус описаной n-мерной сферы удовлетворяет соотношению
- где -объем симплекса и
Построение
Через любые n точек можно провести (n–1)–плоскость и существуют множества из n+1 точек, через которые (n–1)–плоскость провести нельзя. Таким образом, n+1 — минимальное число точек в n–пространстве, которое не лежит в одной (n–1)–плоскости, и может служить вершинами n–многогранника.
Простейший n–многогранник с количеством вершин n+1 называется симплексом. Принято также название «n-мерный тетраэдр». В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют 4 фигуры:
- 0-симплекс (точка) – 1 вершина;
- 1–симплекс (отрезок) – 2 вершины;
- 2–симплекс (треугольник) – 3 вершины;
- 3–симплекс (тетраэдр) – 4 вершины.
Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами:
- В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства;
- Существует общее правило преобразования фигур низшей размерности в фигуры высшей размерности. Оно заключается в том, что из геометрического центра фигуры строится перпендикуляр в следующее измерение, на этом перпендикуляре строится новая вершина и соединяется рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса;
- Как следует из описанной в п. 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.
Описанная сфера
Вокруг любого n-симплекса можно описать n-сферу.
Для 1-симплекса это утверждение очевидно. Описанная 1-сфера будет представлять собой отрезок, совпадающий с самим 1-симплексом, и её радиус будет составлять R = a/2. Добавим к 1-симплексу ещё одну точку и попробуем описать вокруг них 2-сферу.
Построим 2-сферу s0 радиусом a/2 таким образом, чтобы отрезок AB был её диаметром. Если точка С находится за пределами окружности s0, то увеличивая радиус окружности и смещая её в сторону точки С можно добиться того, что все три точки окажутся на окружности. Если же точка С лежит внутри окружности s0, то подогнать окружность под эту точку можно увеличивая её радиус и смещая в сторону, противоположную точке С. Как видно из рисунка, сделать это можно в любом случае, когда точка С не лежит на одной прямой с точками АВ. Не является помехой и несимметричное расположение точки С относительно АВ.
Рассматривая общий случай, предположим, что существует (n–1)-сфера Sn-1 радиуса r, описанная вокруг некоторой (n–1)-мерной фигуры. Поместим центр сферы в начало координат. Уравнение сферы будет иметь вид
Построим n-сферу с центром в точке (0, 0, 0, ... 0, hS) и радиусом R, причём
Уравнение этой сферы
или
Подставив в уравнение (2) xn = 0, получим уравнение (1). Таким образом, при любом hS сфера Sn-1 является подмножеством сферы Sn, а именно – её сечением плоскостью xn = 0.
Предположим, что точка С имеет координаты (X1, X2, X3, ..., Xn ). Преобразуем уравнение (2) к виду
и подставим в него координаты точки С:
Выражение в левой части представляет собой квадрат расстояния RC от начала координат до точки C, что позволяет привести последнее уравнение к виду
откуда можно выразить параметр hS:
Очевидно, что hS существует при любых RC, Xn и r, кроме Xn = 0. Это значит, что если точка С не лежит в плоскости сферы Sn–1, всегда можно найти такой параметр hS, что на сфере Sn c центром (0, 0, 0, ..., hS) будет лежать и сфера Sn–1, и точка С. Таким образом, вокруг любых n+1 точек можно описать n–сферу, если n из этих точек лежат на одной (n–1)–сфере, и последняя точка не лежит с ними в одной (n–1)–плоскости.
Применяя последнее по индукции, можно утверждать, что n–сферу можно описать вокруг любых n+1 точек, если они не лежат в одной (n–1)–плоскости.
Число граней симплекса
Симплекс имеет n+1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.
Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L+1 вершин симплекса определяют его L–мерную грань, и эта грань сама является L–симплексом. Тогда для симплекса число L-мерных граней равно числу способов выбрать L+1 вершину из полного набора n+1 вершин.
Обозначим символом К(L,n) число L–мерных граней в n–многограннике, тогда для n-симплекса
где – число сочетаний из n по m.
В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n+1:
Соотношения в правильном симплексе
В правильном n-мерном симплексе со стороной пусть
- обозначает высоту,
- обозначает объём,
- обозначает радиус описанной сферы,
- обозначает радиус вписанной сферы.
- обозначает двугранный угол,
Тогда
Формулы для правильного симплекса
Число L-мерных граней Высота Объём Радиус описанной сферы Радиус вписанной сферы Двугранный угол Литература
- Александров П. С., Комбинаторная топология, М. — Л., 1947
- Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1947, с. 23—31.
См. также
- Барицентрическое подразделение
- Симплекс-метод
- Симплициальный комплекс
- N-мерная евклидова геометрия
- Теорема косинусов
- Сумма углов треугольника
Ссылки
Категории:- Многомерная евклидова геометрия
- Геометрические фигуры
- Геометрические тела
- Многогранники
- Алгебраическая топология
Wikimedia Foundation. 2010.