Интерполяционная формула Уиттакера-Шеннона

Интерполяционная формула Уиттакера-Шеннона служит для восстановления непрерывного сигнала с ограниченным спектром из последовательности равноотстоящих отсчетов.

Интерполяционная формула, как ее обычно называют, восходит к работе Эмиля Бореля датированной 1898 годом, и к работе датированной 1898 годом, и к работе Эдмунда Уиттакера датированной 1915 годом. Интерполяционная формула была процитирована из работы сына Эдмунда Уиттакера — Джона Макнагтена Уиттакера датированной 1935 годом, в виде теоремы Отсчетов Найквиста-Шеннона в 1949 году, автором редакции был Клод Шеннон, до Шэннона данную теорему сформулировал Котельников. Также Интерполяционную формулу обычно называют интерполяционной формулой Шеннона или интерполяционной формулой Уиттакера.

Теорема отсчётов гласит, что при некоторых ограничивающих условиях, функция x(t) может быть восстановлена из ее дискретизации, x[n] = x(nT), согласно интерполяционной формуле Уиттакера-Шеннона:

$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot {\rm sinc}\left(\frac{t - nT}{T}\right)\,$

где T = 1/f_s результат дискретизации, f_s -частота дискретизации, sinc(x)-нормализированная Sinc-функция

Граничные условия

График сигнала с ограниченной полосой частот в зависимости от функции частоты . С двух сторон пропускная способность R_N = 2B известна как частота Найквиста для сигнала.

Есть два граничных условия которым должна удовлетворить функция X(t), для того чтобы выполнялась интерполяционная формула:

1. x(t) должно быть ограничено. Преобразование Фурье для функции x(t) должно обладать следующим свойством: $\scriptstyle \mathcal{F} \{x(t) \} = X(f) = 0 \$ для |f| > B для некоторой максимальной частоты, B > 0.
2. Частота дискретизации, f_s,должна в два раза превышать диапазон частот,f_s > 2B, или что эквивалентно:

$T < \frac{1}{2B}.$

Где T — период дискретизации.

Интерполяционная формула воссоздает оригинальный сигнал x(t) , только тогда, когда эти два условия будут выполнены. В противном случае возникает наложение высокочастотных компонентов на низкочастотные — Алиасинг

Интерполяция как сумма свертки

Интерполяционная формула выведенная в теореме Котельникова указывает на то что она также может быть выражена как свертка «гребенки» Дирака с Sinc-функцией:

$x(t) = \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \delta \left( t - nT \right) \right) * {\rm sinc}\left(\frac{t}{T}\right)$.

Это эквивалентно фильтрации «гребенкой» Дирака с помощью идеального низкочастотного фильтра.

Сходимость

Интерполяционная формула всегда сходится, конечно и локально равномерно при условии:

$\sum_{n\in\Z,\,n\ne 0}\left|\frac{x[n]}n\right|<\infty.$

Неравенство Гёльдера считается выполненным, если последовательность $\scriptstyle (x[n])_{n\in\Z}$ принадлежит к любому из $\scriptstyle\ell^p(\Z,\mathbb C)$ пространств где 1 < p < ∞, что эквивалентно условию:

$\sum_{n\in\Z}\left|x[n]\right|^p&amp;lt;\infty.$

Это условие достаточно , но не обходимо.

Случайные стационарные процессы

Если x(n) бесконечная последовательность отсчетов дискретной функции в широком смысле стационарного процесса, и она не является членом любого $\scriptstyle\ell^p$ или или L^p пространства, с вероятностью 1; то сумма этих отсчетов возведенных в степень p не принимает конечного ожидаемого значения. Несмотря на то, что интерполяционная формула сходится с вероятностью 1. Сходимость легко может быть показана путем расчета разницы в ограниченных условиях суммирования, и свидетельствует о том, что разницу можно сделать сколь угодно малой при выборе достаточного количества условий. Если этот процесс отличен от нуля, тогда пары условий должны быть учтены таким образом, чтобы показать, что ожидаемое значение из ограниченных выражений сходится к нулю.

Поскольку случайный процесс не имеет преобразования Фурье, условие при котором сумма сходится к оригинальной функции должно также быть другим. Неизменный случайный процесс имеет автокорреляционную функцию и следовательно монохроматическую плотность в соответствии с теоремой Винера — Хинчина. Достаточным условием сходимости к дискретной функции от этого процесса, является то, что спектральная плотность равна нулю на всех частотах, больше либо равных половины дискретизации.

См. Также

• Антиалиасинг
• Алиасинг
• Преобразование Фурье
• Теорема Котельникова
• Дискретизация(сэмплинг)
• Sinc-функция