G-матрица перцептрона

G — матрица перцептрона — используется для анализа перцептронов. Имеет следующий вид:

$G = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} & ... & g_{1n} \\ g_{21} & g_{22} & ... & g_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ g_{n1} & g_{n2} & ... & g_{nn} \\ \end{pmatrix}$,

где $n$ — число стимулов (величина обучаемой выборки, число примеров для запоминания);

$g_{ij}$ — коэффициенты обобщения.

Смысл G — матрицы перцептрона

Коэффициент обобщения равен полному изменению веса ($\sum \Delta w_k$) всех А-элементов, реагирующих на стимул $St_i$, если на каждый А-элемент из множества, реагирующего на стимул $St_j$, подается сигнал подкрепления $\eta$.

Отсюда понятно, что коэффициент обобщения показывает относительное число А-элементов, реагирующих как на стимул $St_i$, так и на стимул $St_j$.

Для простых перцептронов G — матрица не изменяется со временем и является симметричной.

Связь А и G — матриц перцептрона

Связь между А и G — матрицами перцептрона выражается следующими соотношением: G = A×A^T, где A^T транспонированная матрица. Поэтому G матрица является положительно определенной, либо положительно полуопределенной. Так же ранг матрицы G равен рангу матрицы А.

Важными являются условия при которых G — матрица особенная, то есть матрица не имеющая обратной. Для квадратной матрицы это тогда, когда определитель матрицы равен нулю.

Рассмотрим несколько случаев:

1. Пусть матрица G = A×A^T особенная, то есть |G| = 0; Рассмотрим |G| = |A×A^T| = |A|×|A^T| = |A|×|A| = |A|², получаем что |A|² = 0 → |A| = 0 → матрица А особенная.
2. Пусть матрица G = A×A^T не особенная, то есть |G| = ξ ≠ 0; Рассмотрим |G| = |A×A^T| = |A|×|A^T| = |A|×|A| = |A|², получаем что |A|² = ξ≠0 → |A| ≠ 0 → матрица А не особенная.
3. Пусть |А|=0; Найдем |G|, |G|=|А|*|А^T|=0*0=0.
4. Пусть |А|=ξ≠0; Найдем |G|,|G|=|А|*|А^T|=ξ*ξ=ξ²≠0.

Таким образом получаем, что Матрица G = A×A^T особенна, тогда и только тогда, когда матрица А особенна.

См. также

• A-матрица перцептрона
• Перцептрон

Литература

• Розенблатт, Ф. Принципы нейродинамики: Перцептроны и теория механизмов мозга = Principles of Neurodynamic: Perceptrons and the Theory of Brain Mechanisms. — М.: Мир, 1965. — 480 с.