Проектор (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Проектор.

На этом рисунке преобразование $P$ является ортогональной проекцией на прямую $m$.

В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор $P$, действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором (а также опера́тором проекти́рования и проекцио́нным опера́тором) если $P^2=P$. Иногда проекционный оператор называют идемпотентным.

Несмотря на свою абстрактность, это определение обобщает идею построения геометрической проекции.

В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор $P:X\to X$ является проектором, если и только если существуют такие подпространства $U$ и $V$ пространства $X$, что $X$ раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любого элемента $u\in U$ имеем $Pu=u$, а для любого элемента $v\in V$ имеем $Pv=0$. Подпространство $U$ называется образом, а $V$ — ядром проектора $P$.

В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму не единственно. Поэтому, для подпространства $V$ пространства $X$, вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которых совпадает с $V$.

Свойства проекционных операторов

• Пусть $I$ — тождественный оператор. Если $P$ - проектор, то $I-P$ - тоже проектор, причём $\ker{I-P}=\mathrm{Im}{P}$ и $\mathrm{Im}{I-P}=\ker{P}$.
• В конечномерном нормированном пространстве все проекционные операторы непрерывны.
• Для банахова же пространства проекционный оператор будет непрерывным, если его образ замкнут, при этом ядро проектора тоже окажется замкнутым. Таким образом, непрерывный проектор задаёт разложение пространства в прямую сумму замкнутых подпространств: $X=\ker P \oplus \mathrm{Im}\, P$.
• Собственными значениями проектора могут быть только 0 и 1. Соответствующими собственными подпространствами проектора будут его ядро и образ.

Комбинации проекторов

Пусть $P_1$ и $P_2$ проекторы заданные на пространстве $X$ и проектирующие на подпространства $M_1$ и $M_2$ соответственно. Тогда

• $P_1+P_2$ — проектор на подпространстве $M_1\oplus M_2$, в том и только том случае, когда $P_1 P_2=P_2 P_1=0$.
• $P_1-P_2$ является проектором тогда и только тогда, когда $P_1 P_2=P_2 P_1=P_2$. $P_1-P_2$ проектирует на подпространство $M_1\cap(X\ominus M_2)$.
• Если $P_1P_2=P_2P_1=P$, то $P$ — проектор на подпространство $M_1\cap M_2$.

Примеры

• Ортогональная проекция (смотрите ниже) точек (x, y, z) пространства $R^3$ на плоскость Oxy задаётся матрицей

$P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$

Действует на точки она следующим образом:

$P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$

Преобразование T является косоугольной проекцией вдоль k на прямую m. U=m и V=k.

• Простейший неортогональный проектор осуществляет косоугольную проекцию точек плоскости на прямую. Он задаётся матрицей:

$P = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix}.$

Легко показать, что это действительно проектор:

$P^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = P.$

Проекция, задаваемая P, ортогональна, если и только если $\alpha = 0$.

Ортогональный проектор

Если пространство $X$ — гильбертово, то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности), то можно ввести понятие ортогональный проектор.

Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда выше упомянутые подпространства U и V ортогональны друг другу, иными словами, когда $\forall u\in U, \forall v\in V$ $(u,v)=0$, или $u\cdot v =0$, или $u\perp v =0$. В этом случае проекция элемента $x\in X$ является ближайшим к нему элементом пространства U.

Литература

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.