История математических обозначений

Математические обозначения — это символы, используемые для компактной записи математических уравнений и формул^[1]. Помимо цифр и букв различных алфавитов (латинского, в том числе в готическом начертании, греческого и еврейского), математический язык использует множество специальных символов, изобретённых за последние несколько столетий.

Алгебра

Объекты и операции

• 

  Уильям Отред
• 

  Франсуа Виет
• 

  Рене Декарт
• 

  Карл Фридрих Гаусс

3,62

Десятичная запятая, отделяющая дробную часть числа от целой, введена итальянским астрономом Маджини (1592) и Непером (1617). Ранее вместо запятой ставили иные символы: вертикальную черту: 3|62 или нуль в скобках: 3 (0) 62; некоторые авторы, следуя ал-Каши, употребляли чернила разного цвета. В Англии вместо запятой предпочли использовать точку, которую ставили посередине строки; эту традицию переняли в США, однако сдвинули точку вниз, чтобы не путать её со знаком умножения.

---

$\ \frac {7}{12}\$

Привычная нам «двухэтажная» запись обыкновенной дроби использовалась ещё древнегреческими математиками, хотя знаменатель у них записывался над числителем, а черты дроби не было. Индийские математики переместили числитель наверх; через арабов этот формат переняли в Европе. Дробную черту впервые в Европе ввёл Леонардо Пизанский (1202), но в обиход она вошла только при поддержке Иоганна Видмана (1489).

---

Первое появление знаков «плюс» и «минус». Страница из книги Иоганна Видмана

+ −

Знаки плюса и минуса придумали, по-видимому, в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в учебнике Иоганна Видмана «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев», изданном в 1489 году. До этого сложение обозначалось буквой p (plus) или латинским словом et (союз «и»), а вычитание — буквой m (minus). У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка. Оба символа вскоре получили общее распространение в Европе — за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения.

---

× ∙

Знак умножения ввёл в 1631 году Уильям Отред (Англия) в виде косого крестика. До него использовали чаще всего букву M, хотя предлагались и другие обозначения: символ прямоугольника $\Box$ (Эригон, 1634), звёздочка (Иоганн Ран, 1659). Позднее Лейбниц заменил крестик на точку (конец XVII века), чтобы не путать его с буквой x; до него такая символика встречалась у Региомонтана (XV век) и английского учёного Томаса Хэрриота (1560—1621).

---

/ : ÷

Знаки деления. Отред предпочитал косую черту. Двоеточием деление стал обозначать Лейбниц. До них часто использовали также букву D. Начиная с Фибоначчи, используется также горизонтальная черта дроби, употреблявшаяся ещё у Герона, Диофанта и в арабских сочинениях. В Англии и США распространение получил символ ÷ (обелюс), который предложил Иоганн Ран (возможно, при участии Джона Пелла, John Pell) в 1659 году. Попытка Американского национального комитета по математическим стандартам (National Committee on Mathematical Requirements) вывести обелюс из практики (1923) оказалась безрезультатной^[2].

---

±

Знак плюс-минус появился у Жирара (1626) и Отреда. Правда, Жирар между плюсом и минусом писал ещё словами «или».

---

$a^n$

Возведение в степень. Современная запись показателя степени введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2. Позднее Ньютон распространил эту форму записи на отрицательные и дробные показатели (1676), трактовку которых к этому времени уже предложили Стевин, Валлис и Жирар.

---

√

Средневековые математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень символом R_x (от лат. Radix, корень)^[3]. Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф {Ch. Rudolff), из школы коссистов, в 1525 году^[4]. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова radix. Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.

---

$\sqrt[3]{x}$

Кубический корень в XVI веке обозначался следующим образом: R_x.u.cu (от лат. Radix universalis cubica)^[3]. Привычное нам обозначение корня произвольной степени начал использовать Альбер Жирар (1629).^[5] Закрепился этот формат благодаря Ньютону и Лейбницу.

---

$([\{\}])$

Круглые скобки появились у Тартальи (1556) (для подкоренного выражения) и позднее у Жирара^[4]. Одновременно Бомбелли использовал в качестве начальной скобки уголок в виде буквы L, а в качестве конечной — его же в перевёрнутом виде (1550); такая запись стала прародителем квадратных скобок. Фигурные скобки предложил Виет (1593)^[4]. Всё же большинство математиков тогда предпочитали вместо скобок надчёркивать выделяемое выражение. В общее употребление скобки ввели Лейбниц и Эйлер.

---

Σ

Знак суммы ввёл Эйлер в 1755 году.

---

П

Знак произведения ввёл Гаусс в 1812 году.

---

i

Букву i как код мнимой единицы: $i=\sqrt{-1}$ предложил Эйлер (1777), взявший для этого первую букву слова imaginarius (мнимый).

---

|x|

Обозначение абсолютной величины и модуля комплексного числа появились у Вейерштрасса в 1841 году. В 1903 году Лоренц использовал эту же символику для длины вектора.

---

[x]

Символ функции «целая часть» ввёл Гаусс в 1808 году. Некоторые математики предпочитают использовать вместо него обозначение E(x), предложенное в 1798 году Лежандром.

Отношения

• 

  Роберт Рекорд
• 

  Томас Хэрриот
• 

  Джон Валлис
• 

  Георг Фридрих Бернхард Риман

Первое печатное появление знака равенства (записано уравнение $14x + 15 = 71$)

=

Знак равенства предложил Роберт Рекорд в 1557 году; начертание символа было намного длиннее нынешнего. Автор пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины. Некоторое время распространению символа Рекорда мешало то обстоятельство, что с античных времён такой же символ использовался для обозначения параллельности прямых; в конце концов было решено символ параллельности сделать вертикальным. В континентальной Европе знак равенства был введён Лейбницем.

---

$\approx$

Знак «приблизительно равно» придумал немецкий математик С. Гюнтер в 1882 году.

---

$\ne$

Знак «не равно» впервые встречается у Эйлера.

---

$\equiv$

Автор знака «тождественно равно» — Бернгард Риман (1857). Этот же символ, по предложению Гаусса, используется в теории чисел как знак сравнения по модулю, а в логике — как знак операции эквивалентности.

---

$<\ \ >$

Знаки сравнения ввёл Томас Хэрриот в своём сочинении, изданном посмертно в 1631 году. До него писали словами: больше, меньше.

---

$\leqslant\ \ \geqslant$

Символы нестрогого сравнения предложил Валлис в 1670 году. Первоначально черта была выше знака сравнения, а не под ним, как сейчас. Общее распространение эти символы получили после поддержки французского математика Пьера Бугера (1734), у которого они приобрели современный вид.

---

$\ll \; \gg$

Эти обозначения были введены Анри Пуанкаре и Эмилем Борелем (1901) и использовались для указания, что один ряд мажорируется другим. Иногда они используются в этом узком смысле и сейчас, но чаще означают «много меньше» и «много больше».

Геометрия и тригонометрия

$\angle$, $\perp$

Символы «угол» и «перпендикулярно» придумал в 1634 году французский математик Пьер Эригон. Символ угла у Эригона напоминал значок $<$, современную форму ему придал Уильям Отред (1657).

---

$\|$

Символ «параллельности» известен с античных времён, его использовали Герон и Папп Александрийский. Сначала символ был похож на нынешний знак равенства, но с появлением последнего, во избежание путаницы, символ был повёрнут вертикально (Отред (1677), Керси (John Kersey) и др. математики XVII века)^[6].

---

$30^\circ 40' 50''$

Современные обозначения угловых единиц (градусы, минуты, секунды) встречаются ещё в «Альмагесте» Птолемея, однако в средневековой Европе вместо них писали словами: gradus, minutes, secundae. Вновь эти символы использовал в 1568 году французский математик и поэт Жак Пелетье (Jacques Peletier du Mans, 1517—1582), после чего они быстро вошли в общее употребление (в частности, у Тихо Браге, Ретика и Кеплера).

Радианную меру углов, более удобную для анализа, предложил в 1714 году английский математик Роджер Котс. Сам термин радиан придумал в 1873 году Джеймс Томсон, брат известного физика лорда Кельвина.

---

$\pi$

Общепринятое обозначение числа 3.14159… впервые образовал Уильям Джонс в 1706 году, взяв первую букву греческих слов περιφέρεια — окружность и περίμετρος — периметр, то есть длина окружности. Это сокращение понравилось Эйлеру, труды которого закрепили обозначение окончательно.

---

$\sin, \cos$

Сокращённые обозначения для синуса и косинуса ввёл Уильям Отред в середине XVII века.

---

$\tan, \operatorname{tg}, \cot, \operatorname{ctg}$

Сокращённые обозначения тангенса и котангенса: $\operatorname{tg}, \operatorname{ctg}$ введены Иоганном Бернулли в XVIII веке, они получили распространение в Германии и России. В других странах употребляются названия этих функций $\tan, \cot$, предложенные Альбером Жираром ещё ранее, в начале XVII века.

---

$\arcsin$

Манера обозначать обратные тригонометрических функции с помощью приставки arc (от лат. arcus, дуга) появилась у австрийского математика Карла Шерфера (Karl Scherffer, 1716—1783) и закрепилась благодаря Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: $\sin^{-1}, \frac{1}{\sin}$, но они не прижились.

Математический анализ

• 

  Исаак Ньютон
• 

  Готфрид Вильгельм фон Лейбниц
• 

  Леонард Эйлер
• 

  Карл Вейерштрасс
• 

  Жан Батист Жозеф Фурье

$f(x)$

 Долгое время математики задавали аргументы без скобок: $fx$, скобки использовались только в случае многих аргументов, а также если аргумент представлял собой сложное выражение^[7]. Отголоском тех времён являются употребительные и сейчас записи $\sin x, \lg x$ и др. Но постепенно использование скобок стало общим правилом.

---

$o, O$

 Символы бесконечно малых использовал шотландский математик Джеймс Грегори. У него эти обозначения перенял Ньютон.

---

$\int$

 Обозначение интеграла Лейбниц произвёл от первой буквы слова «Сумма» (Summa). Ньютон в своих работах не предложил альтернативной символики интеграла, хотя пробовал различные варианты: вертикальную черту над функцией или символ квадрата, который стоит перед функцией или окаймляет её. Сам термин интеграл придумал Якоб Бернулли (1690).

---

$\Delta x$

 Обозначение приращения буквой $\Delta$ впервые употребил Иоганн Бернулли.

---

$d x$

 Обозначение дифференциала, производной и значительная часть других общеупотребительных символов анализа принадлежит Лейбницу.

---

$\dot x$

 Манера обозначать производную по времени точкой над буквой идёт от Ньютона (1691).

---

$f'(x)$

 Краткое обозначение производной штрихом восходит к Лагранжу.

---

$\int\limits_a^b f(x)\, dx$

 Оформление определённого интеграла в привычном нам виде придумал Фурье.

---

$e$

 Стандартное обозначение числа Эйлера e = 2.71828… предложено, естественно, Эйлером (1728, опубликовано в 1736 году).

---

$\frac{\partial}{\partial x}$

 Символ частной производной сделали общеупотребительным сначала Карл Якоби (1837), а затем Вейерштрасс, хотя это обозначение уже встречалось ранее в одной работе Лежандра (1786).

---

$\lim_{x \to a} f(x)$

 Символ предела появился в 1787 году у Симона Люилье, хотя предельное значение аргумента сначала указывалось отдельно, после символа lim. Близкое к современному обозначение ввёл Вейерштрасс, однако вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства^[8]. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков — например, у Харди (1908).

---

$\nabla$

Символ этого дифференциального оператора придумал Уильям Роуэн Гамильтон (1853), а название «набла» предложил Хевисайд (1892).

Другие обозначения

%

Символ процента появляется в середине XVII века сразу в нескольких источниках, его происхождение неясно. Есть гипотеза, что он возник от ошибки наборщика, который сокращение cto (cento, сотая доля) набрал как 0/0. Более вероятно, что это скорописный коммерческий значок, возникший лет на 100 раньше.

---

$\log_a b, \; \lg, \; \ln$

До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a указывалось то левее и выше символа log, то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания — ниже строки, после символа log. Краткие обозначения наиболее употребительных видов логарифма — десятичного и натурального — появились намного раньше сразу у нескольких авторов и закрепились окончательно также к концу XIX века^[9].

---

$x_n$

Индексацию для нумерации однородных переменных в современном виде ввёл Ньютон (1717). Первое время, из-за типографских ограничений, индексы печатались не ниже строки, а на том же уровне. Двойные индексы (для элементов матриц) ввёл в общее пользование Якоби (1835).

---

$n!\$

Символ факториала предложил Кристиан Крамп (1808).

---

$\infty$

Символ бесконечности придумал Валлис, опубликован в 1655 году^[4].

---

$\lor$ $\land$

Символы логических операций предложил Джордж Буль (1854). Альтернативой являются символ амперсанда & для конъюнкции и вертикальной черты: | для дизъюнкции.

---

$\forall, \exists$

Первые символы для кванторов появились в 1879 году, в книге Фреге «Исчисление понятий». Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения $\exists$ для квантора существования, предложенное Чарльзом Пирсом в 1885 году, и $\forall$ для квантора общности, образованное Герхардом Генценом в 1935 году по аналогии с символом квантора существования (перевёрнутые первые буквы английских слов exists (существует) и all (все)).

---

$\subset,\supset, \in, \cap, \cup$

На символику теории множеств большое влияние оказала тесно связанная с ней и уже хорошо разработанная к концу XIX века символика математической логики. Теоретико-множественные символы «содержится» и «содержит» появились в 1890 году у немецкого логика Эрнста Шрёдера. Вначале отношения «содержится» и «является элементом» не различали, но ещё до появления парадоксов теории множеств отдельный символ принадлежности: $\in$ стал использовать Джузеппе Пеано (1895, от греч. εστι, быть). Он же является автором символов пересечения и объединения множеств (1888).

См. также

• Математические обозначения
• Таблица математических символов
• Таблица обозначений абстрактной алгебры

• Категория:Математические знаки

Литература

• Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4
• Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — С. 13-17.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд. второе. — М.: Просвещение, 1965. — С. 208—212.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М., Наука:

• Том 1. С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
• Том 2. Математика XVII столетия. (1970)
• Том 3. Математика XVIII столетия. (1972)

• Знаки математические // Математическая энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
• Кэджори Ф. История элементарной математики / Пер. И. Ю. Тимченко. — 2-е изд., испр. — Одесса: Mathesis, 1917.
• Cajori F. A History of Mathematical Notations. — New York: Cosimo, Inc, 2007 (1929 reprint). — ISBN 978-1-60206-714-1
  • Volume 1   Volume 2

Ссылки

• Douglas Weaver, Anthony D. Smith. The History of Mathematical Symbols.  (англ.)
• Earliest Uses of Symbols from Geometry.  (англ.)
• Gérard P. Michon. Scientific Symbols and Icons.  (англ.)

Примечания

1. ↑ Лейбниц в письме Чирнгаузу (1678) писал: «Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Это достигается в наибольшей мере тогда, когда знаки коротко выражают и как бы отображают глубочайшую природу вещи; при этом удивительным образом сокращается работа мышления».
2. ↑ Divide symbols.
3. ↑ ^{1 2} Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. — М.: Наука, 1979. — С. 81. — 208 с. — (История науки и техники).
4. ↑ ^{1 2 3 4} Математическая энциклопедия, 1982
5. ↑ История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — Т. II. — С. 41.
6. ↑ Earliest Uses of Symbols from Geometry.
7. ↑ Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1977. — С. 82. — 224 с.
8. ↑ Юшкевич А. П. Развитие понятия предела до К. Вейерштрасса. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1986. — № 30. — С. 76..
9. ↑ Cajori. Florian A History of Mathematics, 5th ed. — AMS Bookstore. — P. 152. — ISBN 0821821024