Разложение дробей при интегрировании

В интегрировании, разложение дробей позволяет интегрировать рациональные функции. Любая рациональная функция может быть представлена в виде суммы некоторого многочлена и некоторого числа дробных функций. Каждая дробь имеет знаменатель в виде многочлена первой или второй степени, причём многочлен в знаменателе, в свою очередь, также может быть возведён в некоторую положительную целую степень. (В случае комплексной переменной, знаменатели являются многочленами первой степени, и эти многочлены могут быть возведены в целую положительную степень). Если знаменатель является многочленом первой степени, возведённым в некоторую целую положительную степень, то числитель дроби является постоянным числом. Если знаменатель является многочленом второй степени (или некоторой целой положительной степенью такого многочлена), то числитель является многочленом первой степени.

Решение Исаака Барроу для интеграла от секанса было первым случаем использования разложения дробей в интегрировании.^[1].

Неформальное описание

Известно, что многочлен n-й степени в общем случае имеет n комплексно-сопряжённых корней (некоторые корни могут совпадать). Например, многочлен x² − 6x + 8 имеет два корня; многочлен x³ − 6x² + 8x + 7 имеет три корня и т. д.

Соответственно, любой многочлен может быть разложен по формуле

$ax^n + bx^{n-1} + ... + k = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n)$

где $x_1$, $x_2$…$x_n$ — корни многочлена.

Например, многочлен x² − 6x + 8 можно разложить следующим образом:

x² − 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)

где 2 и 4 — корни квадратного уравнения x² − 6x + 8=0

Следовательно, дробь, знаменателем которой является многочлен, может быть разложена следующим образом:

$\frac {1}{ax^n + bx^{n-1} + ... + k} = \frac{A}{a} + \frac{B}{(x-x_1)} + \frac {C}{(x-x_2)} + \frac{D}{(x-x_3)}+ ... + \frac{K}{(x-x_n)}$

Эта операция разложения дроби в некотором смысле обратна операции приведения дробей общему знаменателю, с той разницей, что здесь ставится обратная задача - не привести дроби к общему знаменателю, а разложить дробь, имеющую общий знаменатель, на несколько дробей, имеющих разные знаменатели.

В качестве примера, разложим дробь

$\frac {1}{x^2 - 6x + 8}$

Согласно написанному выше, разложение этой дроби таково

$\frac {1}{x^2 - 6x + 8} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-4}$

Начнём приводить две дроби, расположенные в правой части равенства, к общему знаменателю, и очевидно, что числитель получившейся дроби будет равен числителю исходной дроби

$\frac {1}{x^2 - 6x + 8}$

то есть, числитель получившейся дроби будет равен единице.

Имеем

$\frac {1}{x^2 - 6x + 8} = \frac{A(x-4)}{(x-2)(x-4)} + \frac{B(x-2)}{(x-4)(x-2)}$

Записывая две дроби справа под одну дробную черту, получим

$\frac {1}{x^2 - 6x + 8} = \frac{A(x-4)+B(x-2)}{(x-2)(x-4)}$

или раскрыв скобки в знаменателе, получим

$\frac {1}{x^2 - 6x + 8} = \frac{A(x-4)+B(x-2)}{x^2 - 6x + 8}$

Учитывая, что знаменатели одинаковы, то числители дробей справа и слева можно приравнять; тогда получим

$1 = A(x-4)+B(x-2)$

Раскроем скобки в правой части равенства и сгруппируем слагаемые:

$1 = (A+B)x + (-4A - 2B)$

В левой части множитель при переменной х равен нулю (переменная х отсутствует), а свободный член равен 1. В правой части равенства множитель при х равен (А+В), а свободный член равен (-4A - 2B). Приравнивая множители при х в правой и левой части получаем уравнение:

$(A+B)=0$

Аналогично приравниваем свободные члены, и получаем второе уравнение

$(-4A - 2B)=1$

Объединяем эти два уравнения в систему:

$\left\{ \begin{matrix} A+B = 0 \\ -4A-2B = 1 \end{matrix} \right.$

Решая эту систему, находим

$A = - \frac {1}{2}$

$B = \frac {1}{2}$

Итак, имеем разложение

$\frac {1}{x^2 - 6x + 8} = \frac{-1/2}{x-2} + \frac{1/2}{x-4}$

Тогда, интеграл от дроби

$\int {\frac {1}{x^2 - 6x + 8}}\,dx$

будет равен сумме интегралов от двух дробей

$\int {\frac {1}{x^2 - 6x + 8}}\,dx = \int {\frac{-1/2}{x-2}}\,dx + \int {\frac{1/2}{x-4}}\,dx$

Учитывая, что под знаком дифференциала к переменной можно прибавить любую постоянную, запишем

$\int {\frac {1}{x^2 - 6x + 8}}\,dx = \int {\frac{-1/2}{x-2}}\,d(x-2) + \int {\frac{1/2}{x-4}}\,d(x-4)$

Сделаем две замены

(x-2)=z

(x-4)=y

Тогда интеграл примет вид

$\int {\frac {1}{x^2 - 6x + 8}}\,dx = - \frac{1}{2} \int {\frac{1}{z}}\,d(z) + \frac{1}{2} \int {\frac{1}{y}}\,d(y)$

Эти два интеграла не составит труда найти по таблицам интегралов. Тогда окончательно получаем:

$\int {\frac {1}{x^2 - 6x + 8}}\,dx = - \frac{1}{2} \ln |z| + \frac{1}{2} \ln |y| + \text{constant}$

или

$\int {\frac {1}{x^2 - 6x + 8}}\,dx = - \frac{1}{2} \ln |x-2| + \frac{1}{2} \ln |x-4| + \text{constant}$

Многочлен первой степени в знаменателе

Подстановка u = ax + b, du = a dx позволяет упростить интеграл

$\int {1 \over ax+b}\,dx$

до

$\int {1 \over u}\,{du \over a}={1 \over a}\int{du\over u}={1 \over a}\ln\left|u\right|+C = {1 \over a} \ln\left|ax+b\right|+C.$

Многочлен первой степени в знаменателе, возведённый в некоторую целую положительную степень

Та же самая подстановка упрощает интеграл, подобный следующему

$\int {1 \over (ax+b)^8}\,dx$

до

$\int {1 \over u^8}\,{du \over a}={1 \over a}\int u^{-8}\,du = {1 \over a} \cdot{u^{-7} \over(-7)}+C = {-1 \over 7au^7}+C = {-1 \over 7a(ax+b)^7}+C.$

В знаменателе многочлен второй степени, не имеющий действительных корней

Рассмотрим интеграл

$\int {x+6 \over x^2-8x+25}\,dx.$

Самый простой путь увидеть, что знаменатель x² − 8x + 25 не имеет действительных корней, состоит в том, чтобы вычислить его дискриминант, и увидеть, что этот дискриминант отрицательный. По-другому, можно выделить полный квадрат в знаменателе:

$x^2-8x+25=(x^2-8x+16)+9=(x-4)^2+9\,$

и можно увидеть, что знаменатель представляет собой сумму квадратов двух чисел, и эта сумма никогда не может быть равна 0 или меньше 0, если x — действительное число.

Используя подстановку

$\begin{align} u & = x^2-8x+25 \\ du & =(2x-8)\,dx \\ du/2 & = (x-4)\,dx \end{align}$

нам нужно выделить выражение x − 4 в числителе. Тогда мы сможем записать числитель x + 6 в виде суммы (x − 4) + 10, и тогда интеграл будет записан в виде

$\int {x-4 \over x^2-8x+25}\,dx + \int {10 \over x^2-8x+25}\,dx.$

Выше приведённая подстановка позволяет взять первый из этих двух интегралов:

$\int {x-4 \over x^2-8x+25}\,dx = \int {du/2 \over u} = {1 \over 2}\ln\left|u\right|+C = {1 \over 2}\ln(x^2-8x+25)+C.$

Заметим, что причина, по которой мы можем опустить модульные скобки, состоит в том, что, как мы заметили ранее, выражение (x − 4)² + 9 не может иметь отрицательных значений.

Далее следует взять интеграл

$\int {10 \over x^2-8x+25} \, dx.$

В первую очередь, выделим полный квадрат в знаменателе, после чего проведём несложные алгебраические преобразования:

$\begin{align} & {} \quad \int {10 \over x^2-8x+25} \, dx = \int {10 \over (x-4)^2+9} \, dx \\[9pt] & = \int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^2+1}\,dx = {10 \over 3} \int {1 \over \left({x-4 \over 3}\right)^2+1}\, \left({dx \over 3}\right) \end{align}$

Теперь используем следующую подстановку

$w=(x-4)/3\,$

$dw=dx/3\,$

что позволяет найти

${10 \over 3}\int {dw \over w^2+1} = {10 \over 3} \operatorname{arctg}\,w+C={10 \over 3} \operatorname{arctg} \left({x-4 \over 3}\right)+C.$

Складывая оба найденных выражения, запишем окончательный результат интегрирования

$\int {x + 6 \over x^2-8x+25}\,dx = {1 \over 2}\ln(x^2-8x+25) + {10 \over 3} \operatorname{arctg} \left({x-4 \over 3}\right) + C.$

Использование комплексного разложения

В ряде случаев, при определённом навыке, удобнее использовать комплексное разложение многочлена. Так, в вышеприведённом примере:

$\int {x+6 \over x^2-8x+25}\,dx$

Разлагаем знаменатель на два комплексных множителя:

$x^2-8x+25 = (x - 4 + 3i)(x - 4 - 3i)$

После чего ищем разложение подынтегрального выражения на два слагаемых:

$\frac{x+6}{x^2-8x+25} = \frac{A}{x - 4 + 3i} + \frac{B}{x - 4 - 3i}$

Решив несложную систему линейных уравнений, получаем:

$A = \tfrac{1}{2} + \tfrac{5}{3}i, B = \tfrac{1}{2} - \tfrac{5}{3}i$

$\int \frac{x + 6}{x^2-8x+25}\,dx = ( \tfrac{1}{2} + \tfrac{5}{3}i) \int \frac{1}{x - 4 + 3i}\,dx + ( \tfrac{1}{2} - \tfrac{5}{3}i ) \int \frac{1}{x - 4 + 3i}\,dx$

После очевидного интегрирования имеем:

$\left(\tfrac{1}{2} + \tfrac{5}{3}i \right) \ln(x - 4 + 3i) + \left( \tfrac{1}{2} - \tfrac{5}{3}i \right) \ln (x - 4 - 3i) + C$

Сгруппируем отдельно действительные и мнимые слагаемые:

$\tfrac{1}{2} \left( \ln(x - 4 + 3i) + \ln(x - 4 - 3i) \right) + \tfrac{5}{3}i \left( \ln(x - 4 + 3i) - \ln(x - 4 - 3i) \right) + C$

$\tfrac{1}{2} \ln \left( (x - 4 + 3i)(x - 4 - 3i) \right) + \tfrac{5}{3}i \ln \frac{x - 4 + 3i}{x - 4 - 3i} + C$

$\tfrac{1}{2} \ln (x^2-8x+25) + \tfrac{5}{3}i \ln \frac{1 - i \frac{x - 4}{3}}{1 + i \frac{x - 4}{3}} + C$

Как известно, арктангенс комплексного переменного выражается через логарифм:

$\operatorname{arctg} \, z = \tfrac{1}{2}i \ln \frac{1-i\,z}{1+i\,z}$

Это даёт нам возможность переписать второе слагаемое через арктангенс:

$\tfrac{1}{2} \ln (x^2-8x+25) + \tfrac{10}{3} \operatorname{arctg} \frac{x - 4}{3} + C$

В знаменателе многочлен второй степени, возведённый в целую положительную степень

Рассмотрим интеграл

$\int {x+6 \over (x^2-8x+25)^{8}}\,dx.$

Так же, как это делалось выше, можно представить числитель x + 6 в виде суммы (x − 4) + 10, и взять ту часть, которая содержит выражение x − 4, с помощью подстановки

$\begin{align} u & = x^2-8x+25, \\ du & = (2x-8)\,dx, \\ du/2 & = (x-4)\,dx. \end{align}$

Нам остаётся лишь найти интеграл

$\int {10 \over (x^2-8x+25)^{8}}\,dx.$

Как это делалось выше, сначала выделим полный квадрат, после чего произведём несложные математические преобразования

$\int {10 \over (x^2-8x+25)^{8}}\,dx =\int {10 \over ((x-4)^2+9)^{8}}\,dx =\int {10/9^{8} \over \left(\left({x-4 \over 3}\right)^2+1\right)^8}\,dx.$

После этого можно использовать подстановку:

$tg \theta={x-4 \over 3},\,$

$\left({x-4 \over 3}\right)^2+1=tg^2\theta+1=\sec^2\theta,\,$

$d (tg \theta) =\sec^2\theta\,d\theta={dx \over 3}.\,$

После чего интеграл принимает вид

$\int {30/9^{8} \over \sec^{16}\theta} \sec^2\theta \,d\theta ={30 \over 9^{8}}\int \cos^{14} \theta \, d\theta.$

Несколько раз используя формулу

$\cos^2\theta={1 \over 2}( 1 + \cos(2\theta)),$

можно упрощать этот интеграл до тех пор, пока подынтегральное выражение не будет содержать cos θ в степени, большей чем 1.

Далее следует выразить sin(θ) и cos(θ) как функции от x. Примем, что

$tg(\theta)={x - 4 \over 3},$

и что тангенс = (противолежащая сторона)/(прилежащая сторона). Если «противолежащая» сторона имеет длину x − 4 и «прилежащая» сторона имеет длину 3, то согласно теореме Пифагора гипотенуза имеет длину √((x − 4)² + 3²) = √(x² −8x + 25).

Имеем

$\sin(\theta) = {x-4 \over \sqrt{x^2 - 8x + 25}},$

$\cos(\theta) = {3 \over \sqrt{x^2 - 8x + 25}},$

и

$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) = {6(x-4) \over x^2 - 8x + 25}.$

См. также

• Метод Остроградского

Примечания

1. ↑ V. Frederick Rickey and Philip M. Tuchinsky, «An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant», Mathematics Magazine, volume 53, number 3, May 1980, pages 162—166

Ссылки

• Partial Fraction Expander
• Mathematical Assistant on Web online calculation of integrals, allows to integrate in small steps (includes partial fractions, powered by Maxima (software))

Литература

• Высшая математика в упражнениях и задачах. ( В 2-х частях ) Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. 4-е изд., испр. и доп.— M.: Высш. шк., 1986. ч.1 - 304с.; ч.2 - 416с