Произведение Кронекера

Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается $\otimes$. Результатом является блочная матрица.

Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого математика Леопольда Кронекера.

Определение

Если A — матрица размера m×n, B — матрица размера p×q, тогда произведение Кронекера есть блочная матрица размера mp×nq

$A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}.$

В более общем случае имеем

$\mathbf{A}\otimes\mathbf{B} = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\ a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} \end{bmatrix}.$

Если A и B представляют собой линейные преобразования V₁ → W₁ и V₂ → W₂, соответственно, то A ⊗ B представляет собой тензорное произведение двух отображений, V₁ ⊗ V₂ → W₁ ⊗ W₂.

Пример

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot 0 & 1\cdot 5 & 2\cdot 0 & 2\cdot 5 \\ 1\cdot 6 & 1\cdot 7 & 2\cdot 6 & 2\cdot 7 \\ 3\cdot 0 & 3\cdot 5 & 4\cdot 0 & 4\cdot 5 \\ 3\cdot 6 & 3\cdot 7 & 4\cdot 6 & 4\cdot 7 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 5 & 0 & 10 \\ 6 & 7 & 12 & 14 \\ 0 & 15 & 0 & 20 \\ 18 & 21 & 24 & 28 \end{bmatrix}$.

Билинейность, ассоциативность и некоммутативность

• Произведение Кронекера является частным случаем тензорного произведения, и значит оно является билинейным и ассоциативным:

$A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C,$

$(A+B)\otimes C = A \otimes C + B \otimes C,$

$(kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B),$

$(A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C),$

где A, B и C есть матрицы, а k — скаляр.

• Произведение Кронекера не является коммутативным. Хотя, всегда существуют такие матрицы перестановки P и Q, что

$A \otimes B = P \, (B \otimes A) \, Q.$

Если A и B квадратные матрицы, тогда A $\otimes$ B и B $\otimes$ A являются перестановочно подобными, то есть, P = Q^T.

Транспонирование

Операция транспонирования является дистрибутивной относительно произведения Кронекера

$(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T.$

Смешанное произведение

• Если A, B, C и D являются матрицами такого размера, что существуют произведения AC и BD, тогда

$(A \otimes B)(C \otimes D) = AC \otimes BD.$

• A $\otimes$ B является обратимой тогда и только тогда, когда A и B являются обратимыми, и тогда

$(A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1}.$

Сумма и экспонента Кронекера

• Если A — матрица размера n×n, B — матрица размера m×m и $I_k$ — единичная матрица размера k×k тогда можно определить сумму Кронекера $\oplus$ как

$A \oplus B = A \otimes I_m + I_n \otimes B.$

• Также справедливо

$e^{A \oplus B} = e^A \otimes e^B.$

Спектр, след и определитель

• Если A и B квадратные матрицы размера n и q соответственно. Если λ₁, …, λ_n — собственные значения матрицы A и μ₁, …, μ_q собственные значения матрицы B. Тогда собственными значениями A $\otimes$ B являются

$\lambda_i \mu_j, \qquad i=1,\ldots,n ,\, j=1,\ldots,q.$

• След и определитель произведения Кронекера равны

$\operatorname{tr}(A \otimes B) = \operatorname{tr} (A) \, \operatorname{tr} (B),$

$\det(A \otimes B) = (\det A)^q (\det B)^n.$

Сингулярное разложение и ранг

• Если матрица A имеет r_A ненулевых сингулярных значений:

$\sigma_{A,i}, \qquad i = 1, \ldots, r_A.$

Ненулевые сингулярные значения матрицы B:

$\sigma_{B,i}, \qquad i = 1, \ldots, r_B.$

Тогда произведение Кронекера A $\otimes$ B имеет r_Ar_B ненулевых сингулярных значений

$\sigma_{A,i} \sigma_{B,j}, \qquad i=1,\ldots,r_A ,\, j=1,\ldots,r_B.$

• Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных значений, значений

$\operatorname{rank}(A \otimes B) = \operatorname{rank} (A) \, \operatorname{rank} (B).$

История

Произведение Кронекера названо в честь Леопольда Кронекера, несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли матрицей Зефусса.