Мозаика Пенроуза

Мозаика Пенроуза.

Мозаика Пенроуза, плитки Пенроуза — непериодическое разбиение плоскости, апериодические регулярные структуры, замощение плоскости ромбами двух типов — с углами 72° и 108° («толстые ромбы») и 36° и 144° («тонкие ромбы»), такими (подчиняются пропорции «золотого сечения»), что любые два соседних (то есть имеющих общую сторону) ромба не образуют вместе параллелограмм^[1].

Все такие замощения непериодичны и локально изоморфны друг другу (то есть любой конечный фрагмент одной мозаики Пенроуза встречается в любой другой).

Свойства

«Самоподобие» — можно так объединить соседние плитки мозаики, чтобы снова получилась мозаика Пенроуза.

Несколько отрезков можно нарисовать на каждой из двух плиток так, что при выкладывании мозаики концы этих отрезков совместятся и на плоскости образуются несколько семейств параллельных прямых линий (полосы Аммана).

Расстояния между соседними параллельными прямыми принимают ровно два различных значения (а для каждого семейства параллельных прямых последовательность этих значений обладает самоподобием).

Мозаики Пенроуза, имеющие дыры, покрывают всю плоскость, за исключением фигуры конечной площади. Увеличить дыру, сняв несколько (конечное число) плиток, после чего замостить непокрытую часть полностью, нельзя.

История

Роджер Пенроуз стоит на полу, покрытом мозаикой Пенроуза

Названа в честь Роджера Пенроуза, интересовавшегося проблемой «замощения», то есть заполнения плоскости фигурами одной формы без зазоров и перекрываний.

Задача решается замощением фигурами, создающими периодически повторяющийся рисунок, но Пенроуз хотел отыскать именно такую фигуру, которая при замощении плоскости не создавала бы повторяющихся узоров. Считалось^[2], что нет таких плиток, из которых строились бы только непериодические мозаики. Пенроуз подбирал множество плиток различной формы, в итоге их оказалось только 2, имеющих «золотое сечение», которое лежит в основе всех гармоничных соотношений. Это фигуры ромбовидной формы с углами 108° и 72°. Позже фигуры упростились до формы просто ромба (36° и 144°), в основе лежит принцип «золотого треугольника».

Получившиеся узоры имеют квазикристаллическую форму, которая имеет осевую симметрию 5-го порядка. Структура мозаики связана с последовательностью Фибоначчи.

Позже учёные — Д. Шехтман, И. Блех, Д. Гратиас и Дж. Кан — сделали сенсационное открытие, обнаружив особую структуру быстро охлаждённого сплава марганца и алюминия. Ранее считалось, что кристаллы имеют осевую симметрию лишь 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядка. Иными словами, кристаллы, имеющие осевую симметрию 5-го порядка, находятся в состоянии плавного перехода между аморфными телами и периодическими кристаллами.

В трёхмерном пространстве

В трёхмерном пространстве используются икосаэдры, которыми осуществляется плотное заполнение трехмерного пространства^[3].

В архитектуре

На территории современного Ирана в провинции Исфаха́н такая апериодическая мозаика украшает построенную в 1453 году мечеть Дарб-и Имам.

См. также

• Упаковка шаров
• Пентагон
• Пентаграмма
• Звезда (геометрия)

Примечания

1. ↑ Мозаики Пенроуза
2. ↑ Математиком Хао Вангом (en)
3. ↑ Плитки Пенроуза

Ссылки

• Наука и жизнь, № 10, 2005 год
• Penrose tilings (англ.) Обзор различных видов и способы построения.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.