- Арифметическая функция
-
Арифметическая функция — функция, определенная на множестве натуральных чисел , и принимающая значения во множестве комплексных чисел .
Содержание
Определение
Как следует из определения, арифметической функцией называется любая функция
Название арифметическая функция связано с тем, что в теории чисел известно много функций натурального аргумента , которые выражают те или иные арифметические свойства . Поэтому, неформально говоря, под арифметической функцией понимают функцию , которая «выражает некоторое арифметическое свойство» натурального числа (см. примеры арифметических функций ниже).
Многие арифметические функции, рассматриваемые в теории чисел, в действительности являются целозначными.
Операции и связанные понятия
- Суммой арифметической функции называют функцию , определённую как
Эта операция является «дискретным аналогом» неопределённого интеграла; при этом, хотя исходная функция и была определена только на , её сумму оказывается удобным считать определённой на всей положительной полуоси (при этом она, естественно, кусочно-постоянна).
- Свёрткой Дирихле двух арифметических функций f и g называется арифметическая функция h, определённая по правилу
- Арифметической функции f можно сопоставить её «производящую функцию» — ряд Дирихле
При этом свёртке Дирихле двух арифметических функций соответствует произведение их производящих функций.
- Поточечное умножение на логарифм,
является дифференцированием алгебры арифметических функций: относительно свёртки оно удовлетворяет правилу Лейбница,
Переход к производящей функции превращает эту операцию в обычное дифференцирование.
Известные арифметические функции
Количество делителей
Арифметическая функция определяется как число положительных делителей натурального числа :
Если и взаимно просты, то каждый делитель произведения может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей и , и обратно, каждое такое произведение является делителем . Отсюда следует, что функция мультипликативна:
Если — каноническое разложение натурального , то в силу мультипликативности
Так как положительными делителями числа являются чисел , то
Число делителей большого целого числа n растёт в среднем как [1]. Более точно — см. формулу Дирихле.
Сумма делителей
Функция определяется как сумма делителей натурального числа :
Обобщая функции и для произвольного, вообще говоря комплексного, можно определить — сумму -х степеней положительных делителей натурального числа :
Используя нотацию Айверсона можно записать
Функция мультипликативна:
Если — каноническое разложение натурального , то
Сумма делителей числа n растёт в среднем как линейная функция cn, где постоянная c найдена Эйлером и есть [1].
Функция Эйлера
Функция Эйлера , или тотиента, определяется как количество положительных целых чисел, не превосходящих , которые взаимно просты с .
Пользуясь нотацией Айверсона можно записать:
Функция Эйлера мультипликативна:
В явном виде значение функции Эйлера выражается формулой:
где — различные простые делители .
Функция Мёбиуса
Функцию Мёбиуса можно определить как арифметическую функцию, которая удовлетворяет следующему соотношению:
То есть сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого положительного числа равна нулю, если , и равна , если .
Можно показать, что этому уравнению удовлетворяет лишь одна функция, и её можно явно задать следующей формулой:
Здесь — различные простые числа, — простое число. Иначе говоря, функция Мёбиуса равна , если не свободно от квадратов (то есть делится на квадрат простого числа), и равна в противном случае (плюс или минус выбирается в зависимости от четности числа простых делителей ).
Функция Мёбиуса является мультипликативной функцией. Важное значение функции Мёбиуса в теории чисел связано с формулой обращения Мёбиуса.
Примечания
См. также
Литература
- Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел = Introduction to Analytic Number Theory. — М.: «Мир», 1974. — 188 с.
Категории:- Арифметические функции
- Типы функций
Wikimedia Foundation. 2010.