Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник

Прямоуго́льный треуго́льник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов).

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника лежат в основе тригонометрии.

Связанные определения

• Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой (сторона c на рисунке выше).
• Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами. Сторона a может быть идентифицирована как прилежащая к углу В и противолежащая углу A, а сторона b — как прилежащая к углу A и противолежащая углу В.

Типы прямоугольных треугольников

• Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, то треугольник называется пифагоровым треугольником, а длины его сторон образуют так называемую пифагорову тройку.

Свойства

Далее предполагаем, что $a$ и $b$ длины катетов, а $c$ длина гипотенузы

• (Теорема Пифагора)

  $c^2=a^2+b^2$

• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух его катетов. То есть,

  $S=\tfrac{1}{2}ab.$

• Для медиан $m_a$, $m_b$ и $m_c$ выполняется следующее соотношени:

  $m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 = \frac{5}{4}c^2.$

  • В частности, медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Высота

Высота прямоугольного треугольника.

Если высота проведена из вершины с прямым углом к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу. Из этого следует:

• Высота есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) двух сегментов гипотенузы.

• Каждый катет треугольника есть среднее пропорциональное гипотенузы и смежных сегментов.

• Справедливы соотношения:

$\displaystyle f^2=de,$ (иногда это называют теоремой высоты прямоугольного треугольника)

$\displaystyle b^2=ce,$

$\displaystyle a^2=cd$

где a, b, c, d, e, f показаны на диаграмме.^[1] Следовательно:

$f=\frac{ab}{c}.$

• Высота, опущенная на гипотенузу, связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением:^[2][3]

  $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{ f^2}.$

Характеристики

Треугольник ABC со сторонами a, b, c (где c — самая длинная сторона), площади T, с описанной окружностью радиуса R является прямоугольным треугольником тогда и только тогда, когда верно одно из следующих соотношений:^[4]

• $c=2R$, то есть длинная сторона является диаметром описанной окружности.
• $\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=2$
• $\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}=1$
• $a^2+b^2+c^2=8R^2$
• Описанная окружность является касательной к окружности девяти точек.

Тригонометрические соотношения

Основная статья: Тригонометрические функции#Геометрическое определение

Тригонометрические функции для острых углов можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника. Для любого данного угла можно построить прямоугольный треугольник, содержащий такой угол, и со сторонами: противолежащим катетом, прилежащим катетом и гипотенузой, связанными с этим углом определёнными выше соотношениями. Эти отношения сторон не зависят от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, а зависят только от заданного угла, так как все треугольники, построенные таким образом, являются подобными. Если для заданного угла α, противолежащий катет, прилежащий катет и гипотенузу обозначить a, b и c соответственно, то тригонометрические функции имеют вид:

$\sin\alpha =\frac {a}{c},\,\cos\alpha =\frac {b}{c},\,\operatorname{tg}\alpha =\frac {a}{b},\,\operatorname{ctg}\alpha =\frac {b}{a},\sec\alpha =\frac {c}{b},\,\,\csc\alpha =\frac {c}{a}.$

Специальные прямоугольные треугольники

Значения тригонометрических функций можно точно оценить для определённых углов, используя прямоугольные треугольники с особыми значениями углов. К таким треугольникам относятся треугольник 30-60-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для любых значений, кратных π/6, и ''треугольник 45-45-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для значений, кратных π/4.

Теорема Фалеса

Основная статья: Угол, опирающийся на диаметр окружности

Медиана прямого угла треугольника

Теорема Фалеса утверждает, что если какая-нибудь точка A лежит на окружности диаметра BC (за исключением самих точек B и C), то △ABC представляет собой прямоугольный треугольник с прямым углом A. Обратное утверждение таково: если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то гипотенуза будет её диаметром. Следствием является то, что длина гипотенузы равна удвоенному расстоянию от вершины прямого угла до середины гипотенузы. Верно также, что центр окружности, описывающей прямоугольный треугольник, является серединой гипотенузы, а её радиус равен половине длины гипотенузы.

Другие свойства

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c равен:

$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{ab}{a+b+c}.$

Если отрезки длиной p и q, исходящие из вершины C, делят гипотенузу на три равных отрезка длины c/3, то:^{[5]:pp. 216-217}

$p^2 + q^2 = 5\left(\frac{c}{3}\right)^2.$

Прямоугольный треугольник является единственным треугольник с двумя, а не тремя, отличными друг от друга вписанными квадратами.^[6]

Пусть h и s (h>s) сторонами двух квадратов, вписанных в прямоугольный треугольник с гипотенузой c. Тогда:

$\frac{1}{c^2} + \frac{1}{h^2} = \frac{1}{s^2}.$

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме радиусов вписанной и трёх описанных окружностей.

Примечания

1. ↑ Wentworth p. 156
2. ↑ Voles, Roger, «Integer solutions of $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$,» Mathematical Gazette 83, July 1999, 269—271.
3. ↑ Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem, " Mathematical Gazette 92, July 2008, 313—317.
4. ↑ Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, «Complex Numbers from A to…Z», Birkhäuser, 2006, pp. 109—110.
5. ↑ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.
6. ↑ Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, «Squares inscribed in angles and triangles», Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278—284.

Ссылки

	Прямоугольный треугольник на Викискладе?

• Calculator for right triangles
• Weisstein, Eric W. Right Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Wentworth G.A. A Text-Book of Geometry. — Ginn & Co., 1895.