- Функция Уолша
-
Функциями Уолша называется семейство функций, образующих ортогональную систему, принимающих значения только 1 и −1 на всей области определения.
В принципе, функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но чаще их определяют как дискретные последовательности из элементов. Группа из функций Уолша образует матрицу Адамара.
Функции Уолша получили широкое распространение в радиосвязи, где с их помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких стандартах сотовой связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS.
Система функций Уолша является ортонормированным базисом и, как следствие, позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщённый ряд Фурье .
Содержание
Обозначение
Пусть функция Уолша определена на интервале [0, T]; за пределами этого интервала функция периодически повторяется. Введём безразмерное время . Тогда функция Уолша под номером k обозначается как . Нумерация функций зависит от метода упорядочения функций. Существует упорядочение по Уолшу — в этом случае функции обозначаются так, как описано выше. Также распространены упорядочения по Пэли () и по Адамару ().
Относительно момента функции Уолша можно разделить на чётные и нечётные. Они обозначаются как и соответственно. Эти функции аналогичны тригонометрическим синусам и косинусам. Связь между этими функциями выражается следующим образом:
Формирование
Существует несколько способов формирования. Рассмотрим один из них, наиболее наглядный: Матрица Адамара может быть сформирована рекурсивным методом с помощью построения блочных матриц по следующей общей формуле:
Так может быть сформирована матрица Адамара длины :
Каждая строка Матрицы Адамара и является функцией Уолша.
В данном случае функции упорядочены по Адамару. Номер функции по Уолшу вычисляется из номера функции по Адамару путём перестановки бит в двоичной записи номера в обратном порядке с последующим преобразованием результата из кода Грея.
Пример
Номер по Адамару Двоичная форма Перестановка бит Преобразование из кода Грея Номер по Уолшу 0 00 00 00 0 1 01 10 11 3 2 10 01 01 1 3 11 11 10 2 В итоге получается матрица Уолша, в которой функции упорядочены по Уолшу:
Свойства
1. Ортогональность
Скалярное произведение двух разных функций Уолша равно нулю:
Пример
Допустим, что n = 1, k = 3 (см. выше). Тогда,
2. Мультипликативность
Произведение двух функций Уолша даёт функцию Уолша.
где — сложение по модулю 2 номеров в двоичной системе.
Пример
Допустим, что n = 1, k = 3. Тогда,
В результате умножения получим:
Преобразование Уолша-Адамара
Является частным случаем обобщённого преобразования Фурье, в котором базисом выступает система функций Уолша.
Обобщённый ряд Фурье представляется формулой:
где это одна из базисных функций, а — коэффициент.
Разложение сигнала по функциям Уолша имеет вид:
В дискретной форме формула запишется следующим образом:
Определить коэффициенты можно, осуществив скалярное произведение раскладываемого сигнала на соответствующую базисную функцию Уолша:
Следует учитывать периодический характер функций Уолша.
Существует также быстрое преобразование Уолша[1].
Литература
Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. — М.:Высшая школа, 2005 — ISBN 5-06-003843-2
См. также
- Базис Хаара
- Матрица Адамара
- Коэффициент Уолша
- Ортонормированная система
- Ортогональный базис
- Ряд Фурье
Ссылки
Категории:- Математический анализ
- Дискретные преобразования
-
Wikimedia Foundation. 2010.