- Компактификация
-
В общей топологии компактификация — операция, которая преобразует произвольные топологические пространства в компактные.
Формально компактификация пространства определяется как пара , где компактно, гомеоморфизм на свой образ и плотно в .
На компактификациях некоторого фиксированного пространства можно ввести частичный порядок. Положим для двух компактификаций , , если существует непрерывное отображение такое, что . Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна — Чеха[1] и обозначается . Для того, чтобы у пространства существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворяло аксиоме отделимости , т.е. было вполне регулярным.
Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть и открытыми множествами в считаются все открытые множества , а также множества вида , где имеет компактное (в ) дополнение. берётся как естественное вложение в . тогда компактификация, причём хаусдорфово тогда и только тогда, когда хаусдорфово и локально компактно.
Примеры одноточечной компактификации
с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Не трудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соответствующие одноточечные компактификации гомеоморфны. В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с (пример гомеоморфизма — стереографическая проекция), целая окружность гомеоморфна с . Аналогично, гомеоморфно c -мерной гиперсферой.
Примечания
- ↑ Также «стоунчеховская компактификация» и «чехстоунова компактификация».
Категория:- Общая топология
Wikimedia Foundation. 2010.