Инъективность

Инъективная функция.

Отображение$F:X\to Y$ называется инъекцией (или вложением, или взаимно однозначным отображением в множество Y), если разные элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y.

Формально это значит, что если два образа совпадают, то совпадают и прообразы ($F(x)=F(y) \Rightarrow x=y$). Инъективность является необходимым условием биективности (достаточно вместе с сюръективностью).

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть $F:X\to Y$ инъективно, если существует $G:Y\to X$ такое, что $G\circ F=\operatorname{id}_X$.

Примеры

1. $F:\R_{>0}\to\R,\;F(x)=\lg x$ — инъективно.
2. $F:\R_+\to\R_+,\;F(x)=x^2$ — инъективно.
3. $F:\R\to\R_+,\;F(x)=x^2$ — не является инъективным (F( - 2) = F(2) = 4).

См. также

• Функция
• Сюръекция
• Биекция

Литература

• Н. К. Верещагин, А.Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: «Лань», 2004—336 с.