Липшицево отображение

У этого термина существуют и другие значения, см. Отображение (значения).

Липшицево отображение — отображение $f\colon X\to Y$ между двумя метрическими пространствами, применение которого увеличивает расстояния не более, чем в некоторую константу раз. А именно, отображение $f$ метрического пространства $(X,\;\rho_X)$ в метрическое пространство $(Y,\;\rho_Y)$ называется липшицевым, если найдётся некоторая константа $L$ (константа Липшица этого отображения), такая, что

$\rho_Y(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot\rho_X(x,\;y)$

при любых $x,\;y\in X$. Это условие называют условием Липшица.

Связанные определения

• Отображение, удовлетворяющее вышеприведённому условию, называется также $L$-липшицевым.
  • 1-липшицево отображение называют также коротким отображением.
• Нижняя грань чисел $L$, удовлетворяющих вышеприведённому неравенству, называется константой Липшица отображения $f$.
• Отображение $f\colon X\to Y$ называется билипшицевым, если у него существует обратное $f^{-1}\colon Y\to X$ и оба $f$ и $f^{-1}$ являются липшицевыми.
• Отображение $f\colon X\to Y$ называется колипшицевым, если существует константа $L$, такая, что для любых $x\in X$ и $y\in Y$ найдётся $x'\in f^{-1}(y)$ такое, что

  $\rho_Y(f(x),\;y)\leqslant L\cdot\rho_X(x,\;x').$

Свойства

• Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.
• Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.
• Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.

Вариации и обобщения

• Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица записывается так:

$\omega(f,\;\delta)\leqslant L{\cdot}\delta.$

История

Отображения со свойством

$|f(x)-f(y)|\leqslant L{\cdot}|x-y|^\alpha,\quad\alpha\leqslant 1$

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при $\alpha=1$, а при $\alpha<1$ — условием Гёльдера.

См. также

• Показатель Гёльдера

Ссылки

• Условие Липшица и его геометрический смысл.

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.