- Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях
-
Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если целая функция комплексных переменных ограничена, то есть
то есть константа.
Обобщения
- Если ― целая функция в и для некоторого ,
-
- то есть многочлен по переменным степени не выше .
- Если ― вещественная гармоническая функция во всём числовом пространстве ,
-
- то есть гармонический многочлен по переменным.
История
Это предложение, одно из основных в теории аналитических функций, впервые, по-видимому, было опубликовано в 1844 Коши для случая . Лиувилль излагал его на лекциях в 1847, откуда и произошло название.
Доказательство (для случая )
Пусть ограничена на комплексной плоскости, то есть
Воспользуемся интегральной формулой Коши для производной
Где — окружность радиуса , содержащая точку .
Имеем
Отсюда, в силу того, что интегральная формула Коши справедлива для любого контура, имеем
А значит и, следовательно, является константой. Теорема доказана.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Добавить иллюстрации.
Категории:- Теоремы
- Комплексный анализ
Wikimedia Foundation. 2010.