- Производная Ли
-
Производная Ли тензорного поля по направлению векторного поля — главная линейная часть приращения тензорного поля при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем .
Названа в честь норвежского математика Софуса Ли.
Обычно обозначается .
Содержание
Определения
Аксиоматическое
Производная Ли полностью определяется следующими своими свойствами. Такое определение наиболее удобно для практических вычислений, но требует доказательства существования.
- Производная Ли от скалярного поля есть производная по направлению .
- Производная Ли от векторного поля есть скобка Ли векторных полей.
- Для произвольных векторных полей 1-формы выполняется равенство
- (правило Лейбница) Для произвольных тензорных полей S и T, выполняется
Через поток
Пусть — -мерное гладкое многообразие и — векторное поле на .
Рассмотрим поток по , определяемый соотношением:
Обратное отображение к дифференциалу ,
однозначно продолжается до гомоморфизма алгебры тензоров над в алгебру тензоров над . Таким образом произвольное тензорное поле , однопараметрическое семейство полей . Производная Ли может быть определена как
Выражения в координатах
, где — скаляр.
, где — вектор, а — его компоненты.
, где — 1-форма, а — её компоненты.
, где — 2-форма (метрика), а — её компоненты.
Производная Ли для тензорного поля в неголономном репере
Пусть тензорное поле К типа (p, q) задано в неголономном репере , тогда его производная Ли вдоль векторного поля Х задаётся следующей формулой:
,
где , и введены следующие обозначения:
,
— объект неголономности.
Свойства
- -линейно по и по . Здесь — произвольное тензорное поле.
- Производная Ли — дифференцирование на кольце тензорных полей.
- На супералгебре внешних форм производная Ли является дифференцированием и однородным оператором степени 0.
- Пусть и — векторные поля на многообразии, тогда
- есть дифференцирование алгебры , поэтому существует векторное поле , называемое См. далее)
Физический смысл производной Ли
Пусть векторное поле есть поле скоростей неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной системы отсчёта, то есть в каждой точке пространства в каждый момент времени определена скорость координатных сеток этих систем относительно друг друга. Тогда производная Ли вдоль векторного поля переносит производную по времени от каких-либо тензорных полей из неинерциальной системы отсчёта в инерциальную, тем самым определяя инвариантную производную по времени от тензорных полей.
Обобщения
Естественные расслоения
Пусть — естественное гладкое расслоение, то есть функтор, действующий из категории гладких многообразий в категорию расслоений над ними: . Произвольное векторное поле порождает однопараметрическую группу диффеморфизмов , продолжающуюся с помощью на пространство расслоения , то есть . Производная этой группы в нуле даёт векторное поле , являющееся продолжением . Группа также позволяет определить производную Ли по от произвольных сечений по такой же формуле, как и в классическом случае:
Отметим, что в общем случае производная Ли является элементом соответствующего вертикального расслоения , то есть ядра отображения , так как . Если — векторное расслоение, то существует канонический изоморфизм . Оператор вертикального проектирования позволяет представить производную Ли как сечение исходного расслоения:
Производная Ли по формам
Другое обобщение основано на исследовании супералгебры Ли дифференцирований супералгебры внешних форм. Среди всех таких дифференцирований особенно выделяются т. н. алгебраические, то есть те, которые равны 0 на функциях. Любое такое дифференцирование имеет вид , где — тангенциальнозначная форма, а оператор внутреннего дифференцирования определяется по формуле
Здесь — операция альтернирования отображения по всем переменным. Производная Ли по векторнозначной форме определяется через суперкоммутатор операторов:
Её значение определяется тем, что любое дифференцирование супералгебры однозначно представимо в виде , где , — некоторые векторнозначные формы. Кроме того, по формуле можно ввести скобку Фролиха-Ниенхойса тангенциальнозначных форм.
Литература
- Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. — 1981. — Т. 1. — 344 с.
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е, перераб. — М.: Наука, 1986. — Т. 1. — 760 с.
- Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Natural operations in differential geometry. — 1-е изд. — Springer, 1993. — 434 с. — ISBN 978-3540562351
См. также
Категории:- Дифференциальная геометрия и топология
- Дифференциальные операторы
- Производная Ли от скалярного поля есть производная по направлению .
Wikimedia Foundation. 2010.