Алгоритм Гровера

Алгоритм Гровера (англ. Grover search algorithm, GSA) — квантовый алгоритм решения задачи перебора, то есть нахождения решения уравнения

$(1)\qquad f(x)=1,$

где $f$ есть булева функция от n переменных.^[1]

Предполагается, что функция $f$ задана в виде чёрного ящика, или оракула, то есть в ходе решения мы можем только задавать оракулу вопрос типа: «чему равна $f$ на данном $x$», и после получения ответа использовать его в дальнейших вычислениях. То есть задача решения уравнения (1) является общей формой задачи перебора; здесь требуется отыскать «пароль к устройству $f$», что классически требует прямого перебора всех $N=2^n$ вариантов.

GSA находит какой-нибудь корень уравнения, используя $\frac{\pi}{4}\sqrt{N}$ обращений к функции $f$, с использованием $O(n)$ кубитов.^[2] Алгоритм был открыт американским математиком Ловом Гровером в 1996 году.

Свойства

Если уравнение (1) имеет l корней, по схеме Гровера можно найти один из них на квантовом компьютере за время $O(\sqrt{\frac{N}{l}})$ (даже если l не известно заранее), то есть снова квантовая сложность является квадратным корнем из классической.

Классический алгоритм решения такой задачи (линейный поиск), очевидно требует $O(\frac{N}{l})$ обращений к $f$. Алгоритм Гровера позволяет решить задачу поиска за время порядка квадратного корня из классического, что является огромным ускорением. Доказано, что GSA является оптимальным в следующих отношениях:

• Константу $\frac{\pi}{4}$ нельзя улучшить более чем на 3 % ^[3].

• Большего квантового ускорения, чем квадратичное, нельзя получить для неисчезающей доли всех возможных черных ящиков $f$ ^[4].

GSA есть пример массовой задачи, зависящей от оракула. Для более частных задач удается получить большее квантовое ускорение. Например, алгоритм факторизации Шора дает экспоненциальный выигрыш по сравнению с соответствующими классическими алгоритмами.

То, что f задана в виде черного ящика, никак не влияет в общем случае на сложность как квантовых, так и классических алгоритмов. Знание «устройства» функции f (например, знание задающей ее схемы из функциональных элементов) в общем случае никак не может помочь в решении уравнения (1). Поиск в базе данных соотносится с обращением функции, которая принимает определенное значение, если аргумент x соответствует искомой записи в базе данных.

Пусть $I_a$ есть унитарный оператор, зеркально отражающий гильбертово пространство относительно гиперплоскости, перпендикулярной вектору $a$, $|x_{tar}\rangle$ — состояние, соответствующее корню уравнения (1), $|\tilde 0\rangle=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum\limits_j|j\rangle$ — равномерная суперпозиция всех состояний. Тогда GSA состоит в применении оператора $G=-I_{\tilde 0}I_{x_{tar}}$ к состоянию $|\tilde 0\rangle$ число раз, равное целой части $\pi\sqrt{N}/4$. Результат будет почти совпадать с состоянием $|x_{tar}\rangle$.

Алгоритмы, использующие схему Гровера

• Алгоритм поиска экстремума целочисленной функции (P. Hoyer и др.). Ищется наибольшее значение функции $f:\ \{ 0,1\}^n\rightarrow\{ 0,1\}^n$. Квантовый алгоритм находит максимум за $O(\sqrt{N})$ обращений к f.

• Алгоритм структурного поиска (Farhi, Gutman). Ищется решение уравнения (1) при дополнительном условии $g(x_1)=1$ где $x=x_1x_2$ разбиение строки $x$ на две строки одинаковой длины. Алгоритм имеет сложность порядка квадратного корня из классического времени.

• Алгоритм поиска совпадающих строк в базе данных (Амбайнис). Ищется пара разных аргументов $x_1\neq x_2$ на которых функция $f:\ \{ 0,1\}^n\rightarrow\{ 0,1\}^n$ принимает одно и то же значение. Алгоритм требует $O(N^{3/4})$ обращений к f.

Непрерывные версии алгоритма Гровера

• Пусть гамильтониан квантовой системы имеет вид $H=H_1+H_2$, где $\exp(iH_1)$ и $\exp(iH_2)$ представляют собой операторы $I_{\tilde 0}$ и $I_{x_{tar}}$ соответственно. Тогда непрерывная унитарная эволюция с гамильтонианом $H$, стартуя с $|\tilde 0\rangle$, естественно приводит к $|x_{tar}\rangle$. Сложность такого непрерывного аналога GSA точно та же, что и для дискретного случая.

• Адиабатический вариант GSA. Медленная эволюция основного состояния типа $|\tilde 0\rangle$ под действием гамильтониана, зависящего от f, согласно адиабатической теореме, за время порядка $\sqrt{N}$ ведет к состоянию $|x_{tar}\rangle$.

Применение

Смысл GSA состоит в «подскоке амплитуды» (amplitude amplification) целевого состояния за счет убывания амплитуды всех других состояний. Геометрически GSA заключается во вращении текущего вектора состояния квантового компьютера по направлению точно к целевому состоянию (движение по наикратчайшему пути обеспечивает оптимальность GSA). Каждый шаг дает вращение на угол $2\alpha$, где угол между $I_{\tilde 0}$ и $I_{x_{tar}}$ составляет $\pi/2 -\alpha$. Дальнейшее продолжение итераций оператора G даст продолжение обхода окружности в вещественной плоскости, порождённой данными векторами.

Гроверовский «подскок амплитуды» является, по-видимому, фундаментальным физическим феноменом в квантовой теории многих тел. Например, его учет необходим для оценки вероятностей событий, которые кажутся «редкими». Процесс, реализующий схему GSA, приводит к взрывному росту первоначально пренебрежимо малой амплитуды, что способно быстро довести ее до реально наблюдаемых величин.

Алгоритм Гровера также может быть использован для нахождения медианы и среднего арифметического числового ряда. Кроме того, он может применяться для решения NP-полных задач путем исчерпывающего поиска среди множества возможных решений. Это может повлечь значительный прирост скорости по сравнению с классическими алгоритмами, хотя и не предоставляя «полиномиального решения» в общем виде.

См. также

• Квантовый компьютер
• Алгоритм Шора
• Алгоритм Дойча — Джоза

Примечания

1. ↑ Иногда GSA неточно называют поиском в базе данных.
2. ↑ Сложность работы алгоритма, для задачи с оракулом называемая еще временем его работы, определяется числом обращений к оракулу.
3. ↑ Christof Zalka, Grover’s quantum searching algorithm is optimal, Phys.Rev. A60 (1999) 2746—2751 [1]
4. ↑ Yuri Ozhigov, Lower Bounds of Quantum Search for Extreme Point, Proc.Roy.Soc.Lond. A455 (1999) 2165—2172 [2]

Ссылки

• Гровер Л. К. Квантовая механика помогает найти иголку в стоге сена (для скачивания)
• Квантовый алгоритм Гровера Логинов О. В. и Цыганов А. В., Санкт-Петербургский Государственный Университет
• Исходные тексты симулятора квантового компьютера на C++ и реализации алгоритма Гровера