- Семнадцатая проблема Гильберта
-
Семнадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильбета, которые Давид Гильберт высказал в 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже и которые оказали исключительное влияние на развитие математики в XX веке. Формулировка задачи по Гильберту такова:
Пусть дана рациональная функция от переменных с вещественными коэффициентами, которая во всех вещественных точках, где она определена, принимает неотрицательные значения. Можно ли представить её в виде суммы квадратов рациональных функций, все коэффициенты которых вещественны?
Эмиль Артин дал положительное решение этого вопроса в 1927 году, но его решение было неконструктивным. Алгоритмическое решение было найдено Чарльзом Дельзеллом в 1984 году.Вариации и обобщения
- Существуют многочлены, которые неотрицательны при всех вещественных значениях аргументов, но не могут быть представлены в виде суммы квадратов других многочленов. Существование таких примеров было доказано Гильбертом[1] Более явные примеры таких многочленов был даны Моцкиным (англ.) в 1967 году.
- Например, многочлены
- Например, многочлены
-
- не могут быть представлены в виде суммы квадратов многочленов с вещественными коэффициентами. Но их можно представить в виде суммы квадратов рациональных функций, например,
- не могут быть представлены в виде суммы квадратов многочленов с вещественными коэффициентами. Но их можно представить в виде суммы квадратов рациональных функций, например,
- Известны явные необходимые и достаточные условия того, что многочлен является суммой квадратов других многочленов.[2]
- С 1950-х годов известно, что возможность представить многочлен в виде суммы квадратов многочленов связана с решением многомерной степенной проблемы моментов.
- Известно, что каждый неотрицательный многочлен может быть сколь угодно точно приближен (по -норме вектора его коэффициентов) многочленами, которые являются суммой квадратов многочленов.[3]
Примечания
- ↑ Hilbert, D. Uber die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten. ¨ Mathem. Annalen Bd 32, S. 342-350 (1888); см.также Hilbert, D. Gesammelte Abhandlungen. Zweiter Band. Algebra, Invariantentheorie, Geometrie. (German) Chelsea Publishing Co., New York 1965 viii+453 pp
- ↑ V. Powers, T. Wormann (1998). «An algorithm for sums of squares of real polynomials». Journal of pure and applied algebra 127 (1): 99-104. DOI:10.1016/S0022-4049(97)83827-3.
- ↑ Jean B. Lasserre (2007). «A Sum of Squares Approximation of Nonnegative Polynomials». SIAM Rev. 49 (4): 651-669. DOI:10.1137/070693709.
Литература
- Проблемы Гильберта / Сборник под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с.
- В. В. Прасолов Многочлены. — МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1
- C. N. Delzell (1984). «A continuous, constructive solution to Hilbert’s 17th problem». Invent. Math. 76 (3): 365—384. DOI:10.1007/BF01388465.
Проблемы Гильберта 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19 · 20 · 21 · 22 · 23 Категории:- Алгебраическая геометрия
- Проблемы Гильберта
- Существуют многочлены, которые неотрицательны при всех вещественных значениях аргументов, но не могут быть представлены в виде суммы квадратов других многочленов. Существование таких примеров было доказано Гильбертом[1] Более явные примеры таких многочленов был даны Моцкиным (англ.) в 1967 году.
Wikimedia Foundation. 2010.