F4 (математика)

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G2 F4 E6 Группа Лоренца Группа Пуанкаре

См. также: Портал:Физика

В математике, F₄ — название одной из пяти (компактных или комплексных) особых простых групп Ли, а также её алгебры Ли $\mathfrak{f}_4$. F₄ имеет 4 ранг и размерность 52. Группа F₄ односвязна, а её группа внешних автоморфизмов тривиальна. Простейшее точное линейное представление группы F₄, а также её алгебры Ли, 26-мерно и неприводимо.

Компактная вещественная форма (комплексной) группы F₄ является группой изометрий 16-мерного риманова многообразия, известного как 'октонионная проективная плоскость', OP². Это может быть показано с помощью общего приёма, использующего конструкцию, известную как Г. Фрейденталем и Ж. Титсом.

Есть 3 вещественные группы Ли с алгеброй $\mathfrak{f}_4$: компактная, разделённая и третья.

Алгебра Ли F₄ может быть получена путём добавления к 36-мерной алгебре Ли so(9) 16 генераторов, преобразующихся как спиноры, аналогично тому, как это делается в конструировании E₈.

Алгебра

Корневые векторы F₄

$(\pm 1,\pm 1,0,0)$,

$(\pm 1,0,\pm 1,0)$,

$(\pm 1,0,0,\pm 1)$,

$(0,\pm 1,\pm 1,0)$,

$(0,\pm 1,0,\pm 1)$,

$(0,0,\pm 1,\pm 1)$,

$(\pm 1,0,0,0)$,

$(0,\pm 1,0,0)$,

$(0,0,\pm 1,0)$,

$(0,0,0,\pm 1)$,

$\left(\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\right)$,

и простые положительные корневые векторы

$(0,1,-1,0)$,

$(0,0,1,-1)$,

$(0,0,0,1)$,

$\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$.

Группа Вейля/Коксетера

Для данной группы это — группа симметрии гипероктаэдра.

Матрица Картана

$\begin{pmatrix} 2&-1&0&0\\ -1&2&-2&0\\ 0&-1&2&-1\\ 0&0&-1&2 \end{pmatrix}$

Решётка симметрии F₄

4-мерная объёмноцентрированная кубическая решётка имеет F₄ как точечную группу симметрии. Это объединение двух гиперкубических решёток, точки каждой из которых лежат в центрах гиперкубов другой, образует кольцо, называемое кольцом кватернионов Гурвица. 24 кватерниона Гурвица с нормой 1 образуют гипероктаэдр.

Источники

• John Baez, The Octonions, Section 4.2: F₄, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145-205. On-line HTML вариант  (англ.)  (Проверено 26 декабря 2009)