Ряд Лиувилля-Неймана

В интегральном исчислении бесконечный ряд Лиуви́лля-Не́ймана соответствует решению интегрального уравнения Фредгольма с непрерывным малым ядром.

Получение ряда

Будем искать решение уравнения Фредгольма

$u(x)=\lambda\int\limits_G K(x,y)u(y)dy+f(x)$

методом последовательных приближений, положив u⁽⁰⁾(x)=f(x):

$u^{(p)}(x)=\lambda\int\limits_G K(x,y)u^{(p-1)}(y)dy+f(x)=\lambda\left ( Ku^{(p-1)}\right ) (x)+f(x),\ p=1,2,...$

Последнее выражение в формуле является операторной записью интеграла. Методом математической индукции проверяется следующее равенство:

$u^{(p)}=\sum_{k=0}^p\lambda^k(K^kf)(x),\ p=0,1,...$

Функции (K^pf)(x) называются итерациями. Можно показать, что все итерации непрерывны и ограничены на G:

$\|K^pf\|_C=\|K(K^{p-1}f)\|_C\leqslant M\operatorname{mes}G\|K^{p-1}f\|_C\leqslant ...\leqslant (M\operatorname{mes}G)^p\|f\|_C,\ p=0,1,...,$

где mesG — мера множества G, а M = max_G | K(x,y) | .

Из этой оценки следует, что ряд

$\sum_{k=0}^\infty\lambda^k(K^kf)(x),\ x\in G,$

называемый рядом Лиувилля-Неймана, мажорируется числовым рядом

$\|f\|_C\sum_{k=0}^\infty|\lambda|^k(M\operatorname{mes}G)^k=\frac{\|f\|_C}{1-|\lambda|M\operatorname{mes}G},$

сходящимся в круге |λ|<1/(MmesG), поэтому при таких λ ряд Лиувилля-Неймана сходится регулярно. Это значит, что последовательные приближения u^(p)(x) при $p\rightarrow\infty$ равномерно стремятся к искомой функции u(x).

См. также

Резольвента интегрального уравнения

Литература

В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5