- След (теория полей)
-
След — отображение элементов конечного расширения поля EÉ K в исходное поле K, определяемое следующим образом:
Пусть E — конечное расширение K степени n=[E:K], αÎE — какой-нибудь элемент из E. Он определяет линейное преобразование на E:x→αx. Этому преобразованию в некотором базисе e1,e2…en соответствует матрица A:
(αe1,αe2…αen)=(e1,e2…en)*A. След этой матрицы называется следом элемента α. Так как для другого базиса данному отображению будет соответствовать подобная матрица A'=CAC-1 , то по элементарной теореме линейной алгебры след не зависит от выбранного базиса. Он обозначается TrKE(α)
Содержание
Свойства следа
- TrKE(α+β)=TrKE(α)+TrKE(β)
- TrKE(cα)=cTrKE(α) при сÎK
- Если Е — сепарабельно, то TrKE — ненулевой функционал, если несепарабельно, то TrKE=0.
- Для башни КÌ EÌ F имеем: TrKE(TrEF(α))=TrKE(α) (транзитивость следа)
- Если E=K(α) и f(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0 — неприводимый многочлен для α то TrKK(α)(α)= -an-1
Выражение следа через изоморфизмы E над K
Пусть σ1,σ2…σm — все изоморфизмы E в алгебраическое замыкание поля K, являющиеся изоморфизмами над K то-есть оставляющие неподвижными все элементы K. Если E сепарабельно то m равно степени [E:К]=n . Тогда для следа существует следующее выражение:
TrKE(a)=σ1(a)+σ2(a)+…+σn(a)
Если E несепарабельно то m≠n — степени [E:K], в этом случае n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p: n=pim.
Тогда TrKE(a)=pi(σ1(a)+σ2(a)+…+σm(a))=0
Литература
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
- Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967
См. также
Категория:- Теория полей
Wikimedia Foundation. 2010.