Жорданова матрица

Жорданова матрица (нормальная жорданова форма) — одно из фундаментальных понятий линейной алгебры, имеющее большое число приложений в различных разделах математики и физики.

Жордановой матрицей называется квадратная блочно-диагональная матрица над полем $\Bbb K$, с блоками вида

$J_\lambda=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \ddots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ddots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \\\end{pmatrix},$

при этом каждый блок $J_\lambda$ называется жордановой клеткой с собственным значением $\lambda$ (собственные значения в различных блоках, вообще говоря, могут совпадать).

Для произвольной квадратной матрицы $A$ над алгебраически замкнутым полем $\Bbb K$ (например, полем комплексных чисел $\Bbb K = \Bbb C$) всегда существует квадратная невырожденная (т.е. обратимая, с отличным от нуля определителем) матрица $C$ над $\Bbb K$, такая, что

$J=C^{-1}A\,C$

является жордановой матрицей. При этом матрица $J$ называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) данной матрицы $A$. В этом случае также говорят, что жорданова матрица $J$ в поле $\Bbb K$ подобна (или сопряжена) данной матрице $A$. И наоборот, в силу эквивалентного соотношения

$A=CJC^{-1}$

матрица $A$ подобна в поле $\Bbb K$ матрице $J$. Нетрудно показать, что введённое таким образом отношения подобия является отношением эквивалентности и разбивает множество всех квадратных матриц заданного порядка над данным полем на непересекающиеся классы эквивалентности.

Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над $\Bbb K$ в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.

Вариации и обобщения

Помимо жордановой нормальной формы, рассматривают ряд других типов нормальных форм матрицы. К их рассмотрению прибегают, например, когда основное поле не содержит всех корней характеристического многочлена данной матрицы.

Над полем вещественных чисел ($\Bbb K = \Bbb R$) собственные значения матрицы (т.е. корни характеристического многочлена) могут быть как вещественными, так и комплексными, причем комплексные собственные значения, если они есть, присутствуют парами вместе со своими комплексно сопряжёнными: $\lambda_{1,2} = \alpha \pm i \beta$, где $\alpha$ и $\beta$ — вещественные числа, $\beta \neq 0$. В вещественном пространстве такой паре комплексных собственных значений отвечает блок $J_{\lambda_{1,2}}= \left( \begin{array}{ccccccccccc} \alpha & \beta & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\ -\beta & \alpha & 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \alpha & \beta & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -\beta & \alpha & 0 & 1 & \ddots & 0 & 0 & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \alpha & \beta & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\beta & \alpha & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \alpha & \beta\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & -\beta & \alpha\\ \end{array}\right).$

Соответственно, в вещественном пространстве к указанному выше виду жордановых матриц добавляются матрицы, содержащие также блоки вида $J_{\lambda_{1,2}}$, отвечающие парам комплексных собственных значений.^[1][2]

Свойства

• Количество жордановых клеток порядка $n$ с собственным значением $\lambda$ в жордановой форме матрицы $A$ можно вычислить по формуле

  $c_n(\lambda)= \operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n-1} -2\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n} +\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n+1}$

где $I$ — единичная матрица того же порядка что и $A$, символ $\operatorname{rank}$ обозначает ранг матрицы, а $\operatorname{rank} (A-\lambda I)^0$, по определению, равен порядку $A$.

• Вышеприведённая формула следует из равенства

$\operatorname{rank}(A-\lambda I) = \operatorname{rank}(J-\lambda I)$

• В случае если поле $\Bbb K$ не является алгебраически замкнутым, для того чтобы матрица $A$ была подобна над $\Bbb K$ некоторой жордановой матрице, необходимо и достаточно, чтобы поле $\Bbb K$ содержало все корни характеристического многочлена матрицы $A$.
• У эрмитовой матрицы все жордановы клетки имеют размер 1.
• Является матрицей линейного оператора в каноническом базисе.
• Жордановы формы двух подобных матриц совпадают с точностью до порядка клеток.

История

Такая форма матрицы рассматривалась одним из первых Жорданом.

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Примечания

1. ↑ Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
2. ↑ Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson) Матричный анализ. — М.: Мир, 1989 (ISBN 5-03-001042-4).

Литература

• Халмош П. Конечномерные векторные пространства. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
• Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. — М.: Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Ким, Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Москва, 2005.
• В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников. «Жорданова форма матрицы оператора» //180Кб 10.03.2009//