Модель Изинга

Статистическая физика

$S = k_B \, \ln\Omega$

Термодинамика Молекулярно-кинетическая теория

Статистики Максвелла-Больцмана Бозе-Эйнштейна · Ферми-Дирака Parastatistics · Anyonic statistics Braid statistics Ансамбли Микроканонический · Канонический Большой канонический Изотермо-изобарический Изоэнатльпи-изобарический Открытый Термодинамика Уравнение состояния · Цикл Карно · Закон Дюлонга — Пти Модели Модель Дебая · Эйнштейна · Модель Изинга Потенциалы Внутренняя энергия · Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца потенциал Гиббса · Большой термодинамический потенциал Известные учёные Максвелл · Гиббс · Больцман

См. также: Портал:Физика

Модель Изинга — математическая модель статистической физики, предназначенная для описания намагничивания материала.

Каждой вершине кристаллической решётки (рассматриваются не только трёхмерные, но и одно- и двумерные случаи) сопоставляется число, называемое спином и равное +1 или −1 («поле вверх»/«поле вниз»). Каждому из $2^N$ возможных вариантов расположения спинов (где N — число атомов решётки) приписывается энергия, получающаяся из попарного взаимодействия спинов соседних атомов:

$E(S) = - J \sum_{i\sim j} S_i S_j \, ,$

где $J$ — энергия взаимодействия (в простейшем случае одна и та же для всех пар соседних атомов). Иногда также рассматривается внешнее поле $h$ (часто полагаемое малым):

$E(S) = - J \sum_{i\sim j} S_i S_j - h \sum_i S_i. \,$

Затем, для заданной обратной температуры $\beta=1/k_B T$ на получившихся конфигурациях рассматривается распределение Гиббса: вероятность конфигурации полагается пропорциональной $e^{-\beta E(S)} \,$, и исследуется поведение такого распределения при очень большом числе атомов $N$.

Например, в моделях с размерностью, большей 1, имеет место фазовый переход второго рода: при достаточно низких температурах большая часть спинов ферромагнетика (J>0) будет ориентирована (с близкой к 1 вероятностью) одинаково, а при высоких почти наверняка спинов «вверх» и «вниз» будет почти поровну. Температура, при которой происходит этот переход (иными словами, при которой исчезают магнитные свойства материала), называется критической, или точкой Кюри. В окрестности точки фазового перехода ряд термодинамических характеристик расходится. Опыт показывает, что расходимость имеет универсальный характер, и определяется лишь симметрией системы. Впервые критические индексы расходимостей были получены для двумерной модели Изинга в 40-х годах Онсагером. Для остальных размерностей исследования проводятся с помощью методов компьютерного моделирования, ренормгруппы. Обоснованием применения ренормализационной группы в данном случае являются блочное построение Каданова и термодинамическая гипотеза подобия.

Введенная изначально для понимания природы ферромагнетизма, модель Изинга оказалась в центре разнообразных физических теорий, относящихся к критическим явлениям, жидкостям и растворам, спиновым стеклам, клеточным мембранам, моделированию иммунной системы, различным общественным явлениям и т.д. Кроме того, эта модель служит полигоном для проверки методов численного моделирования различных физических явлений.

Алгоритм реализации модели Изинга методом Монте-Карло на компьютере

1. Создать решётку спинов (двумерный массив), спины ориентированы произвольно.
2. Выбрать случайно одну из клеток решётки, стереть значение в ней.
3. Вычислить энергии конфигураций при заполнении этой клетки спином вверх и вниз (либо при всех возможных состояниях, если их больше двух).
4. Выбрать один из вариантов для «стёртого» спина случайно, с вероятностью, пропорциональной $e^{-\beta E(S)} \,$, где $E(S)$ — энергия в соответствующем состоянии. (Поскольку все слагаемые, не затрагивающие данный спин, одни и те же, на самом деле вычислять нужно только суммы по соседям).
5. Возвращаемся в пункт 2; по выполнении достаточного числа итераций (определение этого — отдельная и непростая задача) цикл прекращается.

См. также

• Станислав Смирнов — лауреат Филдсовской премии (2010) «за доказательство конформной инвариантности двумерной перколяции и модели Изинга в статистической физике».

Литература

• Мейлихов Е.З. Трагическая и счастливая жизнь Эрнста Изинга // Природа, 2006. -№ 7. http://vivovoco.rsl.ru/VV/JOURNAL/NATURE/07_06/ISING.HTM
• Р. Бэкстер (англ.)русск., Точно решаемые модели в статистической механике, М.: Мир, 1985

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.